Problème septembre 2011

Sujet: Problème septembre 2011 Sam 03 Sep 2011, 22:48

On note E la partie entière , a et b 2 irrationnels tels que 1/a+1/b=1. Montrer que

sigma(de n= 1 à +l'infini) 1/E(na)^2 + 1/E(nb)^2 = PI^2/6

Sujet: Re: Problème septembre 2011 Lun 05 Sep 2011, 15:38

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Sujet: Re: Problème septembre 2011 Sam 05 Jan 2013, 19:27

solution postee

Sujet: Re: Problème septembre 2011 Dim 06 Jan 2013, 08:30

galillee56 a écrit:: solution postee

pour le probleme du mois de septembre 2011 oui je suis tres en retard desole,
en fait je pense qu'il suffit de prouver que si A={[an],n dans N} et B={[bp],p dans N} alors A et B forme une partition de N
il evident que a,b sont superieur a 1
supposons qu il existe p,n, q tq q=[an]=[bp]
an-1<q<an ( au sens strict car a est irrationelle) donc n-1/a<q/a<n de meme n-1/b<q/b<n
donc en sommant on trouve que n-1<q<n au sens strict ce qui n'est pas possible donc A et B sont disctinct
supposons que q n'appartient pas a A donc il existe un n tq na<q donc puisque a=b/(b-1) donc q<b(q-n) (au sens large)
et on a q+1<a(n+1) donc on trouve que b(q-n)<q+1 (au sens strict) donc [b(q-n)]=q donc AUB=N
donc la somme de l'inverse de leur element au carre est l'inverse de k^2 k dans N qui converge vers (pi^2)/6