Sinon j'ai déjà trouvé un corollaire du théorème de Clément en partant du théorème de Wilson Lagrange. En effet je suis sur la démonstration de l'infinitude des nombres premiers jumeaux dont je te fais cadeau de la première partie.
Démonstration:
On sait d’après le théorème de Wilson que (n + 2) premier sssi (n + 2) divise ((n + 1) ! + 1), n £ N*
Donc (n + 4) premier sssi (n + 4) divise ((n + 3) ! + 1).
Ainsi (n + 2) et (n + 4) forment un couple de nombres premiers jumeaux sssi : (n + 1) divise ((n + 1) ! + 1) et (n + 4) divise ((n + 3) ! + 1).
Soient a et b deux nombres entiers a et b différents de 0 tels que :
(n + 1) ! + 1 (n + 3) ! + 1
( --------------- ) = b et ( --------------- ) = a
n + 2 n + 4
On démontre aisément que a > b
Donc il existe un entier naturel c tel que a = b + c ; c = a – b
(n + 3) ! + 1 (n + 1) ! + 1
c = ( --------------- ) - ( --------------- ). Après calculs on aboutit à :
n + 4 n + 2
(n*+7n²+15n+
(n + 1)! - 2
c = ----------------------------------- ). n* signifie n au cube
(n + 2) (n + 4)
Donc (n+2) et (n+4) forment un couple de nombres premiers jumeaux si (n + 2) (n + 4) divise (n*+7n²+15n+
(n + 1)! – 2
On a (n+1)(n+2)(n+4)=n*+7n²+14n+8. Donc :
(n*+7n²+14n+
(n+1) ! n (n+1) ! – 2 n(n+1) ! - 2
c = ------------------------------- + ---------------------- = (n+1).(n+1) ! + ---------------------
(n+2)(n+4) (n+2)(n+4) (n+2)(n+4)
D’où (n+2) et (n+4) forment un couple de premiers jumeaux ssi (n + 2)(n + 4) divise (n(n+1) ! – 2).
On démontre facilement que ceci est un corollaire du théorème de Clément (voir deuxième pièce jointe) qui dit que n et (n+2) sont des nombres premiers jumeaux sssi n(n+2) divise (4 ((n-1)! + 1) + n). Ce qui revient à dire que (n+2) et (n+4) sont des nombres premiers jumeaux sssi (n+2) (n+4) divise (4 ((n+1)! + 1) + n+2).
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