exo

a,b,c appartient à R*+
montre que :
a/b+b/c+c/a>=3

une simple déduction de I.A.G.

???

voila http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique

Bon, c'est une application directe de AM-GM.
a/b+b/c+c/a>=3V(a/b b/c c/a) =3
Un tout petit googling te servira.

Bon, tu peux voir également ici.

voila une methode:


donc en ajoutant les deux termes:
alors

ms pourquoi
a/b+b/c>= 2racine(a/c)

wentworth a écrit:

ms pourquoi
a/b+b/c>= 2racine(a/c)

Car c'est équivalent à:
(racine(a/b)-racine(b/c) )² >=0 qui est toujours vrai!

(x-y)²>=0 donc x²-2xy+y²>=0 x²+y²>=2xy
en posons x=racine(a/b) et y=racine(b/c) alors a/b+b/c>= 2racine(a/c).

oui monsieur c vrai

mais 2(racine(a/c)+racine(c/a))>=4 vrai
comment peu demontrer !

pose a'=racine(a/c) et b'=racine(c/a)
ona 2(racine(a/c)+racine(c/a))>=4 c'est à dire a'/b' + b'/a' >=2
On a (a'-b')²>=0 alors a'²+b'²>=2a'b' donc (a'²+b'²)/a'b'>=2 ==> a'/b' +b'/a' >=2 avec a',b' de R+*