FONCTION

f fonction continue et décroissante sur IR . Démontrer que : il existe un seul c contient à IR : f(c)=c

Tu poses par exemple g(x)=f(x)-x. f et u(x)=x sont deux fonctions continues sur IR, leur différence est une fonction continue et bien définie sur IR. Donc g(x) est continue sur IR et g(IR)=I car f(IR)=I. Sans prouver la monotonie du g on a premièrement selon TVI l’existence d'un c qui appartient à IR tel que f(c)=c.

D'autre part, g'(x)=f'(x)-1 et on sait que f est décroissante sur IR, d'ou f'(x)=<0. comme résultat g'(x)=f'(x)-1<0 et donc g strictement décroissante et continue sur IR .. Il ne reste qu'appliquer TVI de nouveau et avoir l'unicité du c appartenant à IR tel que g(c)=0 <=> f(c)=c .

Je ne te suis pas trop , mais ce que tu dis au début c'est que toute fonction continu s'annule ?!
Bon moi je te propose de remarqué que g est strictement croissante et que ses limites en +00 et -00 sont -00 et +00 puis d'appliquer TVI .

darkpseudo a écrit:

Je ne te suis pas trop , mais ce que tu dis au début c'est que toute fonction continu s'annule ?!
Bon moi je te propose de remarqué que g est strictement croissante et que ses limites en +00 et -00 sont -00 et +00 puis d'appliquer TVI .

Non pas forcément que s'elle est continue sur un intervalle seulement sans autre condition ! Celui-ci est Continue sur IR et décroissante relation suffisante pour avoir ce que j'ai avancé, c-à-d f surjective de IR --> un intervalle I et s'annule bien sûre puisqu'elle est décroissante sur IR et l’existence d'un c tel que f(c)=c est assuré. Bref, ça revient au même si tu prouves que
lim +oo = +oo et lim -oo = -oo.

Edité...

M.Marjani a écrit:

darkpseudo a écrit:

Je ne te suis pas trop , mais ce que tu dis au début c'est que toute fonction continu s'annule ?!
Bon moi je te propose de remarqué que g est strictement croissante et que ses limites en +00 et -00 sont -00 et +00 puis d'appliquer TVI .

Non pas forcément s'elle est continue sur un intervalle seulement ! mais elle est Continue sur IR et décroissante relation suffisante pour avoir ce que j'ai avancé, c-à-d f surjective. Bref, ça revient au même si tu prouves que lim +oo = +oo et lim -oo = -oo.

Par exemple , la fonction suivante :
f : x ----------> f(x)=- ARCTAN(x)
elle est bien CONTINUE , STRICTEMENT DECROISSANTE sur IR ...... mais NON SURJECTIVE puisque f prend ses valeurs dans ]-Pi/2;Pi/2[ . Alors il y a kelkechoz ki va pas ???!!!!

Ali Zulfikar a écrit:

M.Marjani a écrit:

darkpseudo a écrit:

Je ne te suis pas trop , mais ce que tu dis au début c'est que toute fonction continu s'annule ?!
Bon moi je te propose de remarqué que g est strictement croissante et que ses limites en +00 et -00 sont -00 et +00 puis d'appliquer TVI .

Non pas forcément s'elle est continue sur un intervalle seulement ! mais elle est Continue sur IR et décroissante relation suffisante pour avoir ce que j'ai avancé, c-à-d f surjective. Bref, ça revient au même si tu prouves que lim +oo = +oo et lim -oo = -oo.

Par exemple , la fonction suivante :
f : x ----------> f(x)=- ARCTAN(x)
elle est bien CONTINUE , STRICTEMENT DECROISSANTE sur IR ...... mais NON SURJECTIVE puisque f prend ses valeurs dans ]-Pi/2;Pi/2[ . Alors il y a kelkechoz ki va pas ???!!!!

@Othmane: Comment la montrer ? Dans cet exemple que Monsieur Ali présente, lim+oo f(x)=-pi/2 même en -oo égale à pi/2 !
Jusque cette étape, si c existe alors il est forcément unique. En attendant d'une confirmation sur ma dernière tentation de prouver l'existence du c.

Vous me donnez l'impression de vouloir chercher ..... alors je joue le jeu dans votre intérêt .....

1) Le problème de l'unicité du point fixe est facile ....
S'il en existe DEUX DISTINCTS c1 et c2 alors en comparant c1 et c2 et en utilisant la DECROISSANCE de f vous aboutirez à une absurdité .
Conclusion : il existe AU PLUS un seul c dans IR tel que f(c)=c .

2) Pour l'existence du point fixe .....
Essayez d'amorcer un raisonnement par l'absurde .... Supposez qu'il n'existe pas de c dans IR tel que f(c)=c
Alors dans ce cas la fonction g : x -----------> g(x)=f(x)-x de IR DANS IR est CONTINUE et NE S'ANNULLE JAMAIS SUR IR ; elle a UN SIGNE CONSTANT sur IR ( g>0 partout sur IR OU g<0 partout sur IR )
Sinon , il existerait a et b dans IR tel que g(a).g(b)<0 et le TVI exigerait que g doit s'annuler entre a et b .... Ce qui est FAUX

On peut maintenant examiner , par exemple la cas ou g(x)>0 pour tout x dans IR c'est à dire f(x)>x pour tout x dans IR et voir si celà conduit à une absurdité ????? !!!!!!

Et c'est à Vous ......

j ai pas bien saisi POURRIEZ ous mieux m expliquer j ai pas bien compris dsl :'(

Ok pour éclaircir les idées :
1) Vous faites comme monsieur Ali a dit et ça marche , si f>id alors la limite en +00 de f devrait être +00 or ceci n'est pas possible pour une fonction strictement décroissante , si vous ne voyez pas que c'est trivial vous pouvez le démontré une fonction strictement décroissante on devrait avoir f(0)>=lim+00f(x) donc et donc f(0) >= +00 .
2) Vous faites l'autre méthode qui revient un peu au même .
J'espère que maintenant c'est clair . Bonne journée .