Arc tangeante

Démontrez que https://i.servimg.com/u/f45/15/75/41/85/codeco12.gif

.

L’existence d'un alpha appartenant à IR tel que tan(alpha)=x est assuré. Aides-toi alors de la continuité du f(x)=(V(x²+1)-1)/x et du fait que Arctan est continue et même strictement croissante sur IR.

2Arctan((V(x²+1)-1)/x)=Arctan(x) , on divise la tâche en IR*+ et IR*- , je ferai une et l'autre se tire directement de l'imparité du f.

Si x>0: Il faut tout d'abord prouver que 0<Arctan((V(x²+1)-1)/x)<pi/2
Le coté gauche est trivial puisque V(x²+1)>1 , maintenant calculant la limite en +oo : lim(x-> +oo) f(x)=1 et alors Arctan(f(x))=pi/4 donc 2Arctan(V(x²+1)-1)/x)<pi/2 d’où ce qu'on veut.

Posons maintenant x=tan(a) et remplaçant : 2Arctan(V(x²+1)-1)/x) = 2Acrtan((1-cos(x))/Sin(x)) = 2Arctan(tan(a/2))=a=Arctan(x) (Déjà a>0 est importante pour x=tan(a)>0 alors bien définie).

CQFD.

Une autre méthode plus analytique consiste à considérer l'application suivante :
g : x ----------> g(x)=ARCTAN{(rac(1+x^2) - 1)/x} - (1/2)/ARCTAN(x)
définie sur IR*=]-oo,0[ union ]0;+oo[
Ellle est continue et dérivable sur Dg.

1) Calculer g'(x) pour tout x dans IR*.
2) En déduire que :
ARCTAN{(rac(1+x^2) - 1)/x} = (1/2)/ARCTAN(x) + C1 pour x dans ]0;+oo[
et
ARCTAN{(rac(1+x^2) - 1)/x} = (1/2)/ARCTAN(x) + C2 pour x dans ]-oo;0[
avec C1 et C2 constantes réelles .
3) En faisant tendre x vers +oo puis vers -oo , en déduire que C1=C2=0
4) CONCLURE ....