équivalence !!

saluut !
Enoncé:
soit (G,*) et (F,T) 2 groupes et f un morphisme de G dans F
montez que : f injectif <=> ker(f) = {e}
en fait j'ai pu démonter que si f est injectif alors Ker(f)={e}
mais j'ai trouvé pour le sens contraire !
aidez-moi svp !!!!

Bonjour

==>) Supposons que f est injective, e et e' sont des éléments neutres de G et F resp.

f(x) = e' = f(e) ===> x=e donc Ker(f)= {e}


<==) Supposons que Ker(f) = {e}, soient x,y £ G et y' l'élément symtrique de y dans G:

f(x) = f(y) ===> f(x)T(f(y))' = e' ===> f(x)Tf(y') = e' ===> f(x*y') = e' et puisque Ker(f) = {e} alors x*y' = e ===> x = y ===> f est injective

CQFD