help!

stp j'arrive pas a resoudre cet exercice :/


soit f une bijection de N*dans N*et soit Sn=SIgmak=1 a n f(k)/k²

1-MQ pr tout n app a N* on a : sigma de k=n+1 a 2n f(k)>=n(n+1)/2

2-MQ S2n-Sn>=1/8

3-verifier que si f est croissante alors: qq soit n de N f(n)>=n

merci d avance

Bonsoir,

1- comme f(n+1) ...f(2n) sont deux a deux distincts (car f bijective) on peut les ranger dans un ordre strictement croissant U(n+1)< ...<U(2n)

or U(n+1) >=1
U(n+2)>=2 ( car U(n+2) > U(n+1) )
...U(2n)>=n

On a donc : sigma de k=n+1 a 2n f(k) = sigma de k=n+1 a 2n U(k) > sigma de k=1 a n des k qui vaut n(n+1)/2


2- conséquence de 1.

3-
par récurrence sur n :
pour n=1 ok, car f va de IN* dans lui même

supposons f(n)>=n

f est strictement croissante (car est une bijection croissante)

donc f(n+1)>f(n) et comme c'est des entiers

f(n+1)>= f(n)+1 >= n+1 par hypothèse de récurrence