exo deff

Symbolisé par d(n) pour le nombre de diamètres de polygone convexe a n côté n>=4

calculer d(4) et d(5)
montre que d(n)=(n²-3n)/2

Simple récurrence..

Solution :

Montrons par récurrence que d(n)=(n²-3n)/2 (n>=4):
Pour n=4 d(4)=2 ce qui est vrai.
Supposons que d(n)=(n²-3n)/2 et montrons que d(n+1)=((n+1)²-3(n+1))/2
Donc il suffit de montrer que d(n+1)=(n²-n-2)/2
Et on a pour un polygone de n+1 cote on a d(n+1)=d(n)+(n-1)
donc on trouve facilement que d(n+1)=(n²-n-2)/2