ENS Ulm

Soit une série complexe absolument convergente . On suppose que pour tout entier ,

Montrer que la suite est nulle.

on n'a pas fait encore les séries, mais un petit regard sur le cours suffit de résoudre cet oral, enfin si ma sol est correcte !

sigma (a_n) converge ==> lim a_n =0 (condition nécessaire de la convergence d'une série)
==> (lim a_n)^k =0 , tels que k de IN*
==> sigma(de n=0 à l'infini) (lim a_n)^k =0 , tels que k de IN*
==> sigma(de n=0 à l'infini) (lim a_n)^k = sigma(de n=0 à l'infini) (a_n)^k =0
==> (lim a_n)^k =(a_n)^k, k de IN*
==> lim a_n=a_n
==> a_n=p , p de CI
et comme ona sigma(de n=0 à l'infini) (a_n)^k =0 ==> sigma(de n=0 à l'infini) (p)^k =0
==> p^k =0
==> p=0 , CQFD

<< mais un petit regard sur le cours suffit de résoudre cet oral ..... >>
Pas du tout !!!

A mon avis .... Attend de terminer ton Cours sur Les Séries ....
Attend encore de le maitriser .... et puis reviens sur ce Topic .
L'Oral pour accéder à Ulm est tout de même assez dur !! Ce n'est pas du Chocolat !!

PS : et c'est sans aucune moquerie .

bon de plus ce que vous avez dit , je bien savoir les erreurs que j'ai fait ...veuillez détailler svp (respect)

merci d'avance

P.S: c moi Fermat-X, j'avais un probl de connexion, alors j'ai fait un autre compte .

Classique! c'est une belle application du déterminant de Vandermonde.

Supposons le contraire, il existe un N tel que a_N #0 . Quitte à prendre a_n/a_N, on peut supposer que a_N=1.
On a a_n -->0, il existe M entier tel que n>M ==> |a_n|<1

On a sum(0..M) a_n^k=-sum(M+1..+00) a_n^k et |a_n^k|<|a_n| pour tout k>0 et n>M alors la convergence est normale ( % à k) sur {M+1,M+2, ...}

==> lim( k-->+00)sum(0..M) a_n^k=-sum(M+1..+00) lim( k-->+00)a_n^k=0

{a_0,...,a_M}={b_1,...,b_P} avec les b_i 2 à 2 # et chaque b_i est répété r_i fois dans {a_0,...,a_M}

Alors
sum(1..P) r_i b_i^k = e_1(k)
sum(1..P) (r_ib_i) b_i^k = e_2(k)
...
sum(1..P) (r_i b_i^P-1)b_i^k = e_P(k)

Avec lim e_i(k)=0
La matrice de ce système linéaire à P équations et à P inconnues est inversible ( VanderMonde) alors les b_i^k s'expriment en combinaisons linéaires des e_i(k)

==> lim b_i^k=0 qqs i=1..P
Absurde car l'un des b_i=1