Analyse TSM.

Comme son titre l'indique ce sujet est axé sur la résolution des exercices du Terminale SM relatifs à l'analyse , nous tâcherons durant ce topic de proposer des problèmes qui englobent les différentes branches de l'analyse programmée pour le TSM (Limites et continuité;dérivation; suites;logarithme....)
Les règles:
- Numéroter les problèmes.
- Indiquer le nom de la leçon relative à l'exercice proposé si c'est possible.
- Ne pas proposer de problèmes arbitrairement, et ne pas en proposer avant de résoudre les autres problèmes.
- Tâcher de maintenir le respect et l'ambiance entre forumistes Smile.
Exercice 1:
SUITES.
On considère la suite (a_n) telle que a_1=1 et a_(n+1)=1+a_1.a_2....a_n
Et on pose S_n= SUM(de i=1 à n) 1/a_i
Calculer lim S_n

.

.

postez une solution pour cette limite on doit passer à d'autres exos.

Lim(Sn)=2

peut tu poster (je ne dirais pas la solution entière) mais au moins les étapes les plus importantes de ta solution?

manazerty a écrit:

peut tu poster (je ne dirais pas la solution entière) mais au moins les étapes les plus importantes de ta solution?

Moi aussi j'ai pas pu résoudre cet exercice mais je vais encore essayer .

je vous aide un petit peu:
on a : a_(n+1)-1=((a_n)-1)a_n
utiliser apres le fait que 1/((x-1)x)=1/(x-1)-1/x aprés il ne reste rien a prouver!

Roll+T.A.F
https://i.servimg.com/u/f42/16/62/75/03/codeco25.gif
P.S f est dérivable deux fois !!

rimele a écrit:

je vous aide un petit peu:
on a : a_(n+1)-1=((a_n)-1)a_n
utiliser apres le fait que 1/((x-1)x)=1/(x-1)-1/x aprés il ne reste rien a prouver!

salut
j'ai essayé avec cette limite en utilisant le fait que :
1/(a(k+1) -1)<1/ak<1/(ak -1) pour après utiliser dans le coté droit ton idée en + du fait que 1/ak-1 <1/a(k-1) pour pouvoir éliminer les termes 1/ ak et ne laisser que 2 - (1/an-1 par exemple) et dans le coté à gauche un peu la même chose mais ça ne marche pas et à chaque fois il y a qlqchose qui cloche ,bref j'en ai assez ,postez donc plus d'indices --'

la limite est egale a 2. ben je ne suis pas sur de ma solution mais ben...
solution proposée:
On a 1/(a_(n+1)-1)=1/(a_n-1)-1/a_n pour tout n de IN*/{1}
ainsi on a Sn=1+1/(a_2-1)-1/(a_(n+1)-1)=2-1/(a_(n+1)-1)
On a a_n est croissante sur IN* (facile a verifier ) car a/2>a_1 et non constante car a_3>a_2
supposons que a_n est majorée alors il existe un k de IR tel que pour tout n de IN*:a_n<=k
alors lim a_n<=k posons lim a_n=b tel que b<=k on a lim a_(n+1)=lim (a_n)²-a_n+1
aisni b²-b+1=b alors b=1 et puisque a_n est croissante alors pout tout n>1 on a :a_n>a_1
et ainsi lim a_n>1. alors contradiction.
ainsi a_n n'est pas majoree et puisque a_n est croissante alors lim a_n=+oo
ainsi lim Sn=2. sauf erreur. excusez moi pr cette solution vite redigée et des petits etapes non ecrites .

ou bien suffit de montrer par recurrence que a_n>=n car a_1>=1 et a_(n+1)=1+a_1a_2...a_n
et puisque a_n est croissante alors a_n>=a_1=1 alors a_1>=1 et a_2>=1 et ...et a_n>=n
alors a_(n+1)>=n+1 alors lim a_n=+oo et on termine...
sauf erreur

quand je relis ta réponse ,je sens à quel point j'aime me compliquer les choses, et à quel point ma stupidité peut s'étendre ,j'avais mal utilisé l'idée de rimele , pour sn , dès qu'on trouve qu'elle est égale à 2-1/(a_(n+1)-1) tout est clair
merci (tu viens tout juste de me réveiller de ma léthargie.. --' )

manazerty a écrit:

quand je relis ta réponse ,je sens à quel point j'aime me compliquer les choses, et à quel point ma stupidité peut s'étendre ,j'avais mal utilisé l'idée de rimele , pour sn , dès qu'on trouve qu'elle est égale à 2-1/(a_(n+1)-1) tout est clair
merci (tu viens tout juste de me réveiller de ma léthargie.. --' )

Arretez! ne dites pas ca,si y'a vrm qqn de stupide dans ce forum ce ne serait que moi, c'est grace au hasard que j'ai pu resoudre cette exercice, toi t'a fonde ton raisonnement sur des pensées logiques mais qui n'ont pas ete completées c'est tout! et excusez mon pauvre language

quelle modestie!