Fonction lipitchiZienne !

Salut cher(e) membre , j'ai un exo Qui m'a fait un grand casse tete et j'arrive pas encore a le resoudre :s

Soit f une fction réelle définie sur |R.On suppose qu'il existe un nombre réel
k[smb]appartient[/smb][0,1[ , Tel que :

|f(x)-f(x')|[smb]infegal[/smb]k|x-x'|; x,x'[smb]appartient[/smb][smb]R[/smb].


1. Montrer que f est continue sur |R.
2. Soit a[smb]appartient[/smb][smb]R[/smb].On defint la suite (Xn)n par:

X0=a
X(n+1)=f(Xn)

* Monter que la suite (Xn)n converge vers un réel l [smb]appartient[/smb][smb]R[/smb].
* Montrer que l=f(l).
J'espere que vous pourrez m'aider je l'ai vrmt besion et merci

Bonsoir,


Pour 1- aucun problèmes, on obtient immédiatement que f est continue (pour une preuve, tu peux sortir la boite à epsilon)

2-* l'idée est que X_n=f^n(a) (fofo...of n fois)

pour montrer que X_n converge tu montres que c'est une suite de cauchy (dans IR, qui est complet : tout suite de cauchy converge) en utilisant le caractrère lipschitzien de f :
|X_(n+p) - X_n| =|X_(n+p) - X_(n+p-1)+X_(n+p-1)+......+X_(n+1)- X_n|
tu utilises l'inégalité triangulaire,

puis tu remplaces les X_n par f^n(a) et tu utilises le caractère lipschitzien de f qui donne :
|f^(n+p)(a)-f^n(a)| < k^n |f^p(a)-a|


tu mélanges tout ça et t'obtient que X_n est de cauchy

* l=f(l) s'obtient immédiatement par : X(n+1)=f(Xn), la continuité de f et un passage à la limite.

Merci de votre reponse ,
mais pr le deuxieme je pas bien compris
coment je vais faire les Xn par f^n(a) ???! et pourquoi je dois les remplacer ?!

c'est juste une réecriture de la suite X_n :

en fait : X_0=a , X_1=f(a) , X_2=f(f(a))....X_n=f^n(a)

cette écriture nous permet d'utiliser le caractère lipschitzien de f.

merci Bcp Callo
j'ai du mal a te demandé mais eske vous pouvez si C'est possible m'ecrivais la 2éme en Detail ?

merci Bcp Callo
j'ai du mal a te demandé mais eske vous pouvez si C'est possible m'ecrivais la 2éme en Detail ?

sans pbs,

on utilise d'abord l'inégalité triangulaire

|X_(n+p) - X_n| =|X_(n+p) - X_(n+p-1)+X_(n+p-1)+......+X_(n+1)- X_n|

=< |X_(n+p) - X_(n+p-1)|+|X_(n+p-1)-X_(n+p-2)|+......+|X_(n+1)- X_n|

On remplace .X_n=f^n(a) :

|X_(n+p) - X_n| =< |f^(n+p)(a)- f^(n+p-1)(a)|+......+|f^(n+1)(a)- f^n(a)|

On utilise le caractère lipschitzien de f qui nous donne pour tout m entier non nul:

|f^(n+m)(a)- f^(n+m-1)(a)| =< k^(n+m-1) |f(a)-a|

et on obtient :

|X_(n+p) - X_n| =< k^(n+p-1) |f(a)-a| + k^(n+p-2) |f(a)-a|+ ....+ k^n |f(a)-a|

=< k^n (1-k^(p))/(1-k) |f(a)-a| =< k^n /(1-k) |f(a)-a|

comme 0<k<1, k^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini

donc X_n est de cauchy ...

Mais fofo....f(a)=f^n(a) ?!!

f^n(a) c.à.d f(puisance)n(a) ?!

non, f^n(a) c'est fofof...of (a) n fois

ainsi : f^1 (a) c'est f(a) , f^2(a) c'est fof(a) ...