Théorème de la moyenne

Soit deux fonctions f et φ dérivables sur [a,b] et définies de [a,b] vers R, telles que pour tout x de [a,b] |f’(x)|<= φ’(x) démontrez alors que |f(b)-f(a)|<= φ(b)- φ(a)
N.B : Ce théorème est appelé théorème de la moyenne

Salut,

L'hypothèse équivaut à -p'(x) <= f'(x) <= p'(x) pour tout x dans [a,b] avec a<b
Notons (1) la première inégalité ert (2) la seconde.

(1) Les fonctions p et f étant dérivables sur [a,b], elles sont donc continues sur [a,b], et admettent donc des primitives sur ce même intervalle.
De plus, avec les propriétés de l'intégrale, on a : -p'(x)<=f'(x) implique que int(-p'(x),x=a..b) <= int(f'(x),x=a..b) car a<b

Par suite, il vient : -(p(b)-p(a))<=f(b)-f(a)

(2) le même raisonnement montre que f(b)-f(a)<=p(b)-p(a)

Au final, on a : -(p(b)-p(a))<=f(b)-f(a))<=p(b)-p(a) et donc |f(b)-f(a)|<= p(b)- p(a)

Sauf erreur, et merci pour l'exo !