Racines d'une fonction au sens de la composition

Salut,
Je vous propose trois questions liées à ce qui figure dans le titre, la première étant un peu classique, la deuxième un peu moins, et la troisième beaucoup moins.
Je précise que les fonctions entrant en jeu sont supposées numériques (réelles, à valeurs dans R). Les plus curieux pourront voir qu'en analyse complexe, ces résultats sont pas forcément les mêmes.
1) Rechercher les fonctions f solutions à fof=exp, puis celles éventuellement qui sont continues.
2) Montrer que toute fonction vérifiant fof=-Id est non continue (et qu'en fait elle a une infinité de discontinuités)
3) Montrer que que la seule solution continue à fofof=-Id est -Id et généraliser le résultat à f^n = -Id où f^n est entendue au sens de la composition et n est impair.

Dijkschneier a écrit:

Salut,
Je vous propose trois questions liées à ce qui figure dans le titre, la première étant un peu classique, la deuxième un peu moins, et la troisième beaucoup moins.
Je précise que les fonctions entrant en jeu sont supposées numériques (réelles, à valeurs dans R). Les plus curieux pourront voir qu'en analyse complexe, ces résultats sont pas forcément les mêmes.
1) Rechercher les fonctions f solutions à fof=exp, puis celles éventuellement qui sont continues.
2) Montrer que toute fonction vérifiant fof=-Id est non continue (et qu'en fait elle a une infinité de discontinuités)
3) Montrer que que la seule solution continue à fofof=-Id est -Id et généraliser le résultat à f^n = -Id où f^n est entendue au sens de la composition et n est impair.

2) f est une bijection de R dans R :
Soit x et x' deux réels tels que f(x) = f(x'), alors f(f(x)) = f(f(x')).
Alors -x = -x'.
Donc f est injective de R dans R.
Soit y un réel. On pose x = f(-y).
Alors f(x) = f(f(-y)) = y.
Donc f est surjective de R dans R.

f est discontinue :
On suppose que f est continue alors, étant injective, elle est monotone.
Que f soit croissante ou décroissante, fof est croissante.
Or -Id est décroissante, contradiction.

f admet une infinité de discontinuités :
On suppose que f n'est discontinue qu'en x_1 < x_2 < ... < x_n.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(]−∞,x_1[), f(]x_1,x_2[) ... f(]x_n,+∞[) sont des intervalles deux à deux disjoints.
On pose E = ]−∞, x_1[ ∪ ]x_1,x_2[ ∪ ... ∪ ]x_n,+∞[ et F = f(]−∞,x_1[) ∪ f(]x_1,x_2[)... ∪ f(]x_n,+∞[).
f réalise donc une bijection de R\E dans R\F.
Or R\E ne contient que n éléments alors R\F contient au moins n+1 éléments, contradiction.

Dijkschneier a écrit:

Salut .....
........ Je précise que les fonctions entrant en jeu sont supposées numériques (réelles, à valeurs dans R). Les plus curieux pourront voir qu'en analyse complexe, ces résultats sont pas forcément les mêmes.
1) Rechercher les fonctions f solutions à fof=exp, puis celles éventuellement qui sont continues.

Salut ....
Concernant la 1ère Question de Dijkschneier et nonobstant son caractère classique ; elle reste très intéressante et faisable avec des outils de niveau BACSM .
Pour ceux qui seraient intéressés , voici un Lien pointant vers un document .pdf proposant une démarche ....

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/anabases/8_pb_synt/fof_exp.pdf