Exercice 1 : 1- Par IAG: 1 + 1/y² >= 2/y
Alors
x(1 + 1/y²) > = 2x/y
De même
y(1 + 1/x²) > = 2y/xEn sommant : x(1 + 1/y²) + y(1 + 1/x²) >= 2(x/y + y/x)
Et le résultat en découle vu que x/y + y/x >=2
2- Par IAG:
Et par Caushy-Schwartz :
Alors :
Et vu que x1+x2+...x10 = 1, le résultat s'en suit.
3-
4- On va montrer d'abord la partie gauche de l'inégalité.
(x+y+z)²>=0
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz>=0
2(xy+xz+yz)>= -x²-y²-z²
Alors :
xy+xz+yz >= -1/2Passons à la partie droite maintenant.
D'après IAG:
x²+y² >= 2xy
y²+z² >= 2yz
x²+z² >= 2xz
En sommant, le résultat en découle.
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