x^4+y^4+z^4=?

Bonjour. Soient x,y et z des réels tels que:

x+y+z=1
x^2+y^2+z^2=2
x^3+y^3+z^3=3

Trouver la valeur de x^4+y^4+z^4

AA++

Alors, on a :
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx), d'où on tire xy+yz+zx = -1/2

Puis, de :
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz, on tire xyz = 1/6

Enfin :

x^4+y^4+z^4=(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)-(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)+xyz(x+y+z)

On a ce qu'on voulait :
x^4+y^4+z^4 = 3*1-((-1/2)*2)+(1/6*1) = 3+1+1/6 = 25/6

le meme principe mais ac une autre issue
on a x+y+z=1 (1)
x²+y²+z²=2 (2)
x^3+y^3+z^3=3 (3)
(1)²=>x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1
=> 2(xy+xz+yz)=-1
(1)*(3)=>x^4+y^4+z^4+xy(x²+y²)+xz(x²+z²)+yz(y²+z²)=3
=>x^4+y^4+z^4+xy(2-z²)+xz(2-y²)+yz(2-x²)=3
=>x^4+y^4+z^4 +2(xy+xz+yz)-xyz(x+y+z)=3
=>x^4+y^4+z^4=4+xyz (4)
il suffit mnt de calculer xyz
(1)*(2)=> x^3+y^3+z^3+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)=2
=>xy(1-z)+yz(1-x)+xz(1-y)=-1
=>-3xyz=-1/2
=>xyz=1/6
on remplace dans (4)
pour trouver que x^4+y^4+z^4=25/6
MAIS JE PENSE QUE TA METHODE EST LA PLUS SIMPLE

JE PENSE QU'un tel triplet n'existe po:
(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)=2
d'ou xy+xz+yz=-1/2
ou encore (xy)²+(yz)²+(xz)²=1/4 -2(x²yz+y²xz+z²xy)
=1/4-2xyz
on a aussi (x+y+z)^3=(x+y)^3+3z(x+y)²+3z²(x+y)+z^3
d'ou x^3+y^3+z^3+3x²y+3xy²+3z(1-z)²+3z²(1-z)=1
d'ou 3xy(x+y)+3z(1-2z+z²)+3z²-3z^3=-2
(i.e) 3xy(1-z)+3z-3z²=-2
(i.e) 3xyz=2+3xy+3z-3z²
(i.e) 3xyz=2+3(xy+xz+yz)
et on trouve finalement xyz=1/6
mais on aura (xy)²+(yz)²+(xz)²=-1/12

lamperouge a écrit:

JE PENSE QU'un tel triplet n'existe po:
(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)=2
d'ou xy+xz+yz=-1/2
ou encore (xy)²+(yz)²+(xz)²=1/4 -2(x²yz+y²xz+z²xy)
=1/4-2xyz
on a aussi (x+y+z)^3=(x+y)^3+3z(x+y)²+3z²(x+y)+z^3
d'ou x^3+y^3+z^3+3x²y+3xy²+3z(1-z)²+3z²(1-z)=1
d'ou 3xy(x+y)+3z(1-2z+z²)+3z²-3z^3=-2
(i.e) 3xy(1-z)+3z-3z²=-2
(i.e) 3xyz=2+3xy+3z-3z²
(i.e) 3xyz=2+3(xy+xz+yz)
et on trouve finalement xyz=1/6
mais on aura (xy)²+(yz)²+(xz)²=-1/12

Je pense que tu as raison: un tel triplet de "réel" n'existe pas.
L'exercice ne perdra pas sa valeur si c'était mentionné que le triplet dont on parle est composé de trois nombres complexes.
Tu peux utiliser Wolfram alpha pour avoir une idée claire.