f(a) f '(a) f ''(a) f '''(a) >=0

Soit f : IR -----> IR de classe C^3. Montrer qu'il existe a dans IR tel que


f(a) f '(a) f ''(a) f '''(a) >=0


AA++

si f(a) f '(a) f ''(a) f '''(a) = 0 pour un a c'est bon

sinon f(x) f '(x) f ''(x) f '''(x) garde un signe constant.

Le produit f(x) f '(x) f ''(x) f '''(x) est invariant par f -> -f et f(x) -> f(-x).

On peut donc supposer f(x) f"(x) > 0 par exemple.

Si f'(x) f'''(x) < 0 pour tout x : f'(x) < 0 et f'''(x) > 0 ou f'(x) > 0 et f'''(x) < 0
C'est impossible car il n'y a pas de fonctions strictement convexes majorées ou fonctions strictement concaves minorées.


(encore 1 journée pour profiter de ce smiley )