X/Y.

salut
posons
X=1+2+3....n
Y=1+2^k+3^k+.....n^k (k£N* et k impair)
prouver que X devise Y

X/Y????

c'est quoi la question?

X divise Y ?

non c'est faux X ne divise pas Y

X=n(n+1)/2
Par recurrence sur k
Pour k=1, X=Y
pour k=2, Y=n(n+1)(2n+1)/6 =X(2n+1)/3 ==> n'est pas vrai que X|Y
Donc c'est quoi la question?

prendre n=2 et k=2, X =3 et Y=5

kimo a écrit:

non c'est faux X ne divise pas Y

pardon il y a un donne qui manque

En plus on est dans la section inégalités

kimo a écrit:

En plus on est dans la section inégalités

est ce que cela est en relation avec le prb

bien sur, la divisibilité c'est clairement de l'arithmétique non?
EDIT par mathman : oui; je le déplace.

Problème :
k est un entier impair. Montrer que, pour n >= 1, la somme 1^k + 2^k+ ... + n^k est un entier divisible par n(n+1)/2.

Début de solution :
Montrons que 2S = (1^k + 2^k+ ... + n^k) est un entier divisible par n(n+1). Puisque k est impair,
a^k + b^k = (a+b)(a^{k-1} - a^{k-2}b + ... - ab^{k-2} + b^{k-1}).

Je vous laisse continuer et terminer.

abdelbaki.attioui a écrit:

X=n(n+1)/2
Par recurrence sur k
Pour k=1, X=Y
pour k=2, Y=n(n+1)(2n+1)/6 =X(2n+1)/3 ==> n'est pas vrai que X|Y
Donc c'est quoi la question?

Par recurrence sur k=1,3,5,.... On pose Y(k)=1^k + 2^k+ ... + n^k
Pour k=1, Y(1)=X
Pour k=3, il est bien connu que Y(3)=X²
H.R: X divise Y(i) pour tout i impair=<k . Montrons que X divise Y(k+2)
(p+1)^(k+3)-p^(k+3)=(somme de i=0 à k+2) (i,k+3)p^i
où (i,k+3) sont les coefficients de Newton.
En sommant de p=1 à n on obtient:
(n+1)^(k+3)-1=(somme de i=0 à k+2) (i,k+3)Y(i)
=(k+3)Y(k+2)+(somme de i=0 à (k+1)/2) (2i,k+3)Y(2i) +(somme de i=1 à (k+1)/2) (2i-1,k+3)Y(2i-1)
à suivre

si k est impai ,soit S=1+2^k+3^k+...+(n-1)^k+n^k
il est tres clair que n divise x^k+(x-n)^k
donc n divise la somme de x=1 à x=n de x^k+(x-n)^k=2(1+2^k+3^k+...+(n-1)^k)+n^k
par suit n|2S (1)
de meme on a n+1 divise x^k+(n+1-x)^k
alors n+1|somme de x=1 à x=n de x^k+(n+1-x)^k=2S
donc n+1|2S (2)

(1) et (2) donne n(n+1)|2S car PGCD(n,n+1)=1
donc 1+2+3+...+n|S

pilot_aziz a écrit:

si k est impai ,soit S=1+2^k+3^k+...+(n-1)^k+n^k
il est tres clair que n divise x^k+(x-n)^k]

je pense que c est n/((n-x)^k+x^k)