Un problème qui vaut de l'or...

Soit ABC un triangle, et I le centre de son cercle inscrit, on note X et Y l'intersection du cercle inscrit au triangle ABC avec le cercle circonscrit au triangle BIC, (X est proche de B que C).
On note X' et Y' les intersections de (CX) et (BY) avec le cercle circonscrit au triangle ABC.
Et soient X'' et Y'' les intersections de (BX') et (CY') avec le cercle circonscrit au triangle BIC.
Montrer que le triangle AX''Y'' est isocèle.


(P.S: Je m'excuse pour la formulation du problème qui est un peu pourrie ! )

Solution :

On note G l'intersection des droites BX' et CY' et Y_1=Y" et X_1=X", tout d'abord on note M le milieu de l'arc BC, il est bien connu que M est le centre du cercle (BIC), puisque XY est l'axe radical du cercle inscrit de ABC et du cercle (BIC) donc IM est perpendiculaire à XY. D'autre part nous avons angle{CXY}=angle{CBY}=angle{CBY'}=angle{CX'Y'}, ainsi XY || X'Y', ce qui donne X'Y' est perpendiculaire à IM. Mais nous avons angle{GX_1Y_1}=angle{Y_1CB}=angle{GX'Y'} d'où X_1Y_1 || X'Y' et ainsiX_1Y_1 est perpendiculaire à IM mais puisque MX_1=My_1 donc IM est médiatrice de X_1Y_1, en résumé et compte tenu du fait que les points A,I et M sont allignés on a AX_1=AY_1.

Mehdi.O a écrit:

Solution :

On note G l'intersection des droites BX et CY' et Y_1=Y" et X_1=X", tout d'abord on note M le milieu de l'arc BC, il est bien connu que M est le centre du cercle (BIC), puisque XY est l'axe radical du cercle inscrit de ABC et du cercle (BIC) donc IM est perpendiculaire à XY. D'autre part nous avons angle{CXY}=angle{CBY}=angle{CBY'}=angle{CX'Y'}, ainsi XY || X'Y', ce qui donne X'Y' est perpendiculaire à IM. Mais nous avons angle{GX_1Y_1}=angle{Y_1CB}=angle{GX'Y'} d'où X_1Y_1 || X'Y' et ainsiX_1Y_1 est perpendiculaire à IM mais puisque MX_1=My_1 donc IM est médiatrice de X_1Y_1, en résumé et compte tenu du fait que les points A,I et M sont allignés on a AX_1=AY_1.

BX'
vaut de l'or...

Mehdi-el a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution :

On note G l'intersection des droites BX et CY' et Y_1=Y" et X_1=X", tout d'abord on note M le milieu de l'arc BC, il est bien connu que M est le centre du cercle (BIC), puisque XY est l'axe radical du cercle inscrit de ABC et du cercle (BIC) donc IM est perpendiculaire à XY. D'autre part nous avons angle{CXY}=angle{CBY}=angle{CBY'}=angle{CX'Y'}, ainsi XY || X'Y', ce qui donne X'Y' est perpendiculaire à IM. Mais nous avons angle{GX_1Y_1}=angle{Y_1CB}=angle{GX'Y'} d'où X_1Y_1 || X'Y' et ainsiX_1Y_1 est perpendiculaire à IM mais puisque MX_1=My_1 donc IM est médiatrice de X_1Y_1, en résumé et compte tenu du fait que les points A,I et M sont allignés on a AX_1=AY_1.

BX'
vaut de l'or...

..... Pathétique