Calculer f^(k)(0) pour k=1,2,3,....

Bonjour

Soit f : IR -----> IR de classe C l'infini telle que : f(1/n)=n²/(n²+1) pour tout entier n non nul.
Calculer f^(k)(0) pour k=1,2,3,....

AA+

Etrange exo, mais pas quel bout le prendre

Une façon :

g(x) = f(x) - 1/(1+x²)
alors g(1/n) = 0 et g est C^°° aussi

g est C° donc g(0) = 0

Rock and Rolle et leur orchestre : on peut trouver x_n -> 0 (1/n <= x_n <= 1/(n-1)) telle que g'(x_n) = 0. Donc g'(0) = 0

Le raisonnement tient aussi pour g', g", ....
On a donc g^(n)(0) = 0.

Reste à calculer les dérivées n_ième de 1/(1+x²) en 0 .....

J'en fais la moitié : la fonction est paire donc f^(2n+1)(0) = 0