Problème

ABC un triangle, et P un point du plan. Soit (l) une droite passante par P, et (l_a) et (l_b) et (l_c) les droites symétriques de (l) par rapport à (BC), (AC) et (AB) respectivement. Montrer que le centre du cercle inscrit au triangle déterminé par les droites (l_a), (l_b) et (l_c) appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

P.S: ça vous rappelle d'un autre problème très connu.. ?!

C'est difficile à ce point que personne n'a pu poster sa solution ?
Alors je m'en charge :
Soit X et Y et H les poins d'intersection de (l) avec AB et AC et BC respectivement, DFG le triangle défini par les droites l_a et l_b et l_c.
Les droites coloriés sont ceux symétriques, on a donc XA est bissectrice de l'angle {DXY} et de même YA est bissectrice de l'angle {XYD} donc A est le centre du cercle inscrit du triangle DXY et ainsi les points les points A, I et D sont allignés, de même pour les autres, ce qui reste est juste une chasse d'angle triviale :
angle{AIC}=90+1/2angle{DFG}=90+1/2(angle{XFB}+angle{BFH})=90+1/2(angle{BXH}+angle{BHX}-angle{ABC})=180-angle{ABC}. D'où la conclusion.

Il vaut mieux accompagner ta preuve par une figure illustrative, car c'est difficile de suivre la démonstration, en plus, ce que tu as utilisé n'est pas valable pour toutes les configurations( les angles orientés) ... Aussi, il faut traiter le cas où (l) est parallèle à l'un des côtés de ABC.