Demonstration Limite !

Demontrez Que :

1) lim(f.g)=L1.L2

2) lim(f/g)=L1/L2

3) lim(Sqrt(f))=Sqrt(L1)

4) lim(|f|)=|L1|


Avec lim(f)=L1 et lim(g)=L2

on a L1 la fin d'une fonction numérique f ( L1 appartient R)(en +infini or en -infini or en x0 apprt R) . On a L2 la fin d'une fonction numérique g ( L2 appartient R)( en +infini or en -infini or en x0 apprt R)
1)lim(f.g)=L1.L2
2)Lim(f/g)=L1/2 si L2 =/= 0
3)Lim(sqrt(f))=sqrt(L1) Si L1>0
4)Lim(lfl)=lL1l

Ouais , L'enonce S'ecrit De Cette Maniere !

Personne /?

bon je propose ma solution pour 1
tu vas demontrer que pour tt reels a et b lal-lbl=<la-bl qu'o otera relation A
puis tu vas utiliser la definition de la limite
donc puisque limf=l1 et limg=l2
on a pour tt B>0 il existe un a1 et a2 tt deux superieurs strictemet a 0
tel que 0<lx-x0l<a1 et 0<lx-x0l<a2
=> lf(x)-l1l<B et lg(x)-l2l<B
=> lf(x)-l1l*lg(x)-l2l<B²
=> lf(x)g(x)-l1*l2-(l1g(x)-l2f(x)-2l1*l2)l<B²
et d'apres la relation A
on a lf(x)g(x)-l1*L2l<B²+ll1g(x)-l2f(x)-2l1*l2l
=> lf(x)g(x)-l1*L2l<B²+ll1(g(x)-l2)+l2(f(x)-l1)l
et d'apres l'inegalite triangulaire on a
lf(x)g(x)-l1*L2l<B²+ll1(g(x)-l2)l+ll2(f(x)-l1)l
=> lf(x)g(x)-l1*L2l<B²+B(l1+l2)
tu montre maintenat que l'expression a droite est surjective sur R+
et puis conclure
sauf erreur
PS: les l aux extremites marquent la valeur absolue

pour 4 tu utilisera la definition et dijonction des cas sur f et l
pour 3 je propose cette solution
on a limf=l1
<=> pour tt B>0 il existe a>0
tel que 0<lx-x0l<a=>lf(x)-l1l<B
=>l(fx)-l1)/(Vf(x)+Vl1)l<B/(Vf(x)+Vl1)
=>lVf(x)-Vl1l<B/(Vf(x)+Vl1)
faut maintenant simplement montrer la surjectivite de l'expression a droite ce qui est totalement aise
d'ou on conclut le resultet voulu

pour la 2 tu vas utiliser la 1 demonstration et demontrer que lim1/g=1/l