Exercice

Soit ABC un triangle acutangle avec AB =/= AC. On note (C) son cercle circonscrit, H son orthocentre et O le centre de (C). Soit M le milieu de [BC]. La droite (AM) recoupe (C) en N et le cercle de diamètre [AM] recoupe (C) en P.
Prouver que les droites (AP),(BC),(OH) sont concourantes si, et seulement si, AH=HN

Soit X l'intersection de (OH) et (AN) et H_A le pied de la hauteur issue de A .
i)AH=HN <==> <HXA=<HXN=90° d'où les piont A,P,H et X et les points H,X,M,H_A sont cocycliques et d'après le théorème des axes radicaux (HX),(MH_A) et (AP) sont concourantes d'où le résultat

ii) (AP),(BC),(OH) sont concourantes <==>(HX),(MH_A) et (AP) sont concourantes [AM] est le diamètre du cercle circonscrit du triangle AMP donc <APM=90° d'où les point Q,P,H et H_A sont cocycliques : <AQX+<XAQ=<PQH+<XAQ=<PH_AH+<XAQ=<AMP+<XAQ=90° d'où <AXQ=90° d'où (OH)est la médiatrice de [AN] d'où AH=HN

Bravo, votre solution est bonne ! mais il existe quelque chose qui n'est pas très claire:

diablo902 a écrit:

d'où les piont A,P,H et X et les points H,X,M,H_A sont cocycliques

ici, tu as utilisé le fait que angle{HPA}=90, ce qui vient de M, H et P sont collinéaires ... Et cela mérite une démonstration tout de même !

@Ali: merci, démo: H est l'orthocentre du triangle AMR (R est l'intersection de (AP) et (BC))

diablo902 a écrit:

@Ali: merci, démo: H est l'orthocentre du triangle AMR (R est l'intersection de (AP) et (BC))

Non t'as détourné le problème puisque pour que H soit l'orthocentre il faut que (PH) soit perpendiculaire à (AM) ce qui est justement ce que tu dois montrer.
En tout cas bravo, car l'idée est bonne il reste juste à finaliser l'implication réciproque.

Bonsoir,
Le problème est bien intéressant, je viens de le remarquer, pour compléter la solution de Diablo, il suffit de prouver le lemme suivant :
ABC un triangle dont les angles sont aigus, H son orthocentre et M le milieu de BC, et D l'intersection de MH et (C) ercle circonscrit de ABC, on a les droites MH et AD sont perpendiculaires.
On considère E l'intersection de AH et (C) et F un point tel que HBFC est un parallélogramme ( ce point est unique ) on a donc angle{BFC}=angle{BHC}=180-angle{BAC} et ainsi le point F appartient à (C) et on les points B,M et H sont alligné puisque M est le milieu de BC, d'autre part H_A le projeté orthogonal de H sur BC est claiement le milieu de HE ainsi par Thalès MH_A et EF sont parallèles et ainsi angle{ADF}=angle{AEF}=angle{HH_aM}=90, ce qui achève la preuve.
On peut dire que ce lemme est la clé de ce problème, le reste est trivial puisqu'il s'agit d'appliquer le théorème des axes radicaux.
P.S: @Diablo: ta démo pour la question de Ali ne prouve absolument rien, de plus tu n'as utilisé nul part le fait que M est le milieu de BC .