Sixième olympiade de première (4 Mai 2012)

Exercice 1 :
Soient a,b et c trois nombres réels strictement positifs, montrer que :

Cas d'égalité?

Exercice 2 :
Trouver toutes les fonction f définies sur R telles que :
1) Pour tous les nombres réels x et y :
f(2x) = f(x+y)f(y-x) + f(x-y)f(-x-y)
2) f(x) >= 0 pour tout nombre réels x.

Exercice 3 :
Soient a,b et c les trois longueurs des côtés d'un triangle ABC tels que : c²=2ab et a²+c²=3b². Déterminer les mesures des angles du triangle ABC.

Exercice 4 :
Soit ABC un triangle, et (C) son cercle circonscrit. Les tangents à (C) aux points A et B se coupent au point T. La parallèle à (AC) passant par T coupe [BC] en D. Montrer que AD=CD.

(1) :par C-S , LHS >= S=(a+b)²\(a+2b+c) , S >= RHS équivalent a : (a-c)²>=0 égalité si a=b=c . exo 3)... c²=2ab donc (a+b)²=4b² d'ou a=b . et c=\rac(2)a puis al-khashi ..... . Exo 4) : soit P et K l'intersection de (TD) et le cercle : On a par la puissace d'un point : Tk.TP=TA²=TB² d'ou TAB est isocélé en T . d'ou l'angle TAB=TBA=ACB=x , puis puisque (TD)\\(AC) , TDB=ACB=TAB=x , d'ou TADB est inscriptible d'ou TBA=TDA=DAC=x , d'ou ADC est isocele en D . Exo 2) P(x,y) l'assertion ... P(0,0) donne f(0)=0 ou f(0)=1\2 , si f(0)=0 , P(x\2 , x\2) donne f(x)=0 quelque soit x , qui vérifie l'enoncé . si f(0)=1\2 . P(x\2, x\2 ) donne f(x)=f(-x) pour tout x alors f est pair , d'ou l'equation devient P(x,y): f(2x)=2f(x+y)f(x-y) , P(0,x) d'ou f(x)²=1\4 d'ou f(x)=1\2 quelque soit x , puisque f(x) >=0 pour tout x , ainsi 2) solution f(x)=0 et f(x)=1\2 .

Oty a écrit:

(1) :par C-S , LHS >= S=(a+b)²\(a+2b+c) , S >= RHS équivalent a : (a-c)²>=0 égalité si a=b=c . exo 3)... c²=2ab donc (a+b)²=4b² d'ou a=b . et c=\rac(2)a puis al-khashi ..... . Exo 4) : soit P et K l'intersection de (TD) et le cercle : On a par la puissace d'un point : Tk.TP=TA²=TB² d'ou TAB est isocélé en T . d'ou l'angle TAB=TBA=ACB=x , puis puisque (TD)\\(AC) , TDB=ACB=TAB=x , d'ou TADB est inscriptible d'ou TBA=TDA=DAC=x , d'ou ADC est isocele en D . Exo 2) P(x,y) l'assertion ... P(0,0) donne f(0)=0 ou f(0)=1\2 , si f(0)=0 , P(x\2 , x\2) donne f(x)=0 quelque soit x , qui vérifie l'enoncé . si f(0)=1\2 . P(x\2, x\2 ) donne f(x)=f(-x) pour tout x alors f est pair , d'ou l'equation devient P(x,y): f(2x)=2f(x+y)f(x-y) , P(0,x) d'ou f(x)²=1\4 d'ou f(x)=1\2 quelque soit x , puisque f(x) >=0 pour tout x , ainsi 2) solution f(x)=0 et f(x)=1\2 .

C'est excellent, ton travail!
Tes réponse pour le deuxième et le troisième sont semblables aux miennes.

Merci beaucoup nmo , comment tu as passé de ton coté a vrai dire il m'a semblé que votre test été ardu d'aprés l'expression du visage des candidats au terminale a moins que je l'ai mal interpréter ...

En gros , pour le 1 et 2 j'ai suivi la même démarche de Oty, pour le 3 j'ai utilisé la loi des sinus. Donc je propose ce que j'ai fait pour le 4 (Aussi, c'est presque la même chose ):

Solution au problème 4:

Soit O le centre de (Gamma) le cercle circonscrit au triangle ABC, on note D' l'intersection de la médiatrice de [AC] et [BC], donc D'A=D'C.
Et puisque les deux triangle TAO et TBO sont rectangles, on obtient par pythagore: OT²=OA²+AT²=OB²+BT², donc: AT=BT (Durant l'épreuve, j'ai préféré ne pas utiliser la puissance d'un point par rapport à un cercle), et puisque: , on conclut que les deux triangle TAB et D'AC sont semblables, d'où: , il s'en suit que le quadrilatère TAD'B est inscriptible, d'où: .
Donc D' est l'intersection de la parallèle à (AC) passant par T et [BC], Alors: D'=D.
Cela implique que: DA=DC.

Oty a écrit:

Merci beaucoup nmo , comment tu as passé de ton coté a vrai dire il m'a semblé que votre test été ardu d'aprés l'expression du visage des candidats au terminale a moins que ce soit l'effet du couscous et que j'ai cru celui du test ....

Encore une fois, je ne reçois rien!
Même, je n'ai pas reçu l'excuse de la délégation!
J'ai seulement essayé de résoudre votre test...

nmo a écrit:

Oty a écrit:

Merci beaucoup nmo , comment tu as passé de ton coté a vrai dire il m'a semblé que votre test été ardu d'aprés l'expression du visage des candidats au terminale a moins que ce soit l'effet du couscous et que j'ai cru celui du test ....

Encore une fois, je ne reçois rien!
Même, je n'ai pas reçu l'excuse de la délégation!
J'ai seulement essayé de résoudre votre test...

tkt , sa ne fait rien , les copie de terminal ne sont meme pas corrigé donc tu rate pas grand chose , et le test tu vas surment pouvoir te le procuré

pour le 1
a²/(a+b)>=3a-b/4 et b²/b+c>=3b-c/4 ainsi leur somme>= 3a+2b-c/4

amigo-6 a écrit:

pour le 1
a²/(a+b)>=3a-b/4 et b²/b+c>=3b-c/4 ainsi leur somme>= 3a+2b-c/4

Personnellement, je trouve que c'est la meilleure solution! Très bien.
Et le cas d'égalité devient trivial en utilisant ces deux lemmes.
En effet, il s'agit d'une égalité si et seulement si a=b et b=c.
Ainsi si tous les variables sont égaux.

Oty t'es en terminale toi ou bien en 1 er bac ??????

thx nmo!

Mes solution pour les exo 2 et 4 sont similaire a ce qui est déjà mentionné , je presente mes solutions pour le 1 et le 3
EXO 1
il suffit de remarquer que

en prenant compte de cet inégo :

En fait la somme et on trouve le resultas voulue
EXO3
Supposons que a>b
alors ab>b²--> 6ab>6b²-->3c²>2(a²+c²)--->c²>2a²--->a²+c²>3a²--->3b²>3a²-->b>a
de même pour a<b
ainsi a=b et c²=2a²=2b²
et on a a²+c²=3b²--->a²+b²=4b²-c²--->a²+b²=c²
d'ou le triangle cherché est un triangle isocèle et rectangle ainsi les mesures de ses angles sont 45,45,90.

joli

bon personnellement je vois que c'est un olympiade pas assez difficile, bref j'ai fini l'epreuve en 1h30 :p

Pourquoi vous n'avez pas posté l'olympiade?