Une équivalence

Bonsoir

i)==> ii)

soit u_n croissante , si 'il existe x de omega tel que u_n(x) ) n'est pas borné
et soit y £ omega ,alors u_n(y) >= 1/c * (u_n(x)) ( on peut toujours trouvé un voisinage compact de x) donc u est identiquement infinie,
sinon (u_n) cvs vers u : omega -> R , mais les restrictions sur chaque compact inclus dans omega sont en faite une suite croissante de fcts continues definie sur un compact , donc d'apres Dini il ya la convergence uniforme ainsi la restriction de u sur chaque compact inclus dans omega est continue ,donc continue sur omega

ii) => i) soit K un compact inclus dans omega et t £ omega , montrons d'abord que inf( u£H+)( u(t)) n'est ps nul , sinon on peut toujours trouver une suite u_n décroissante de H+ tel que u_n(t) ->0 donc 1/u_n est croissante avec lim( 1/u_(n)(t)) = +00 donc qlq soit x£ omega lim( u_n(x ))=0 donc , qlq soit x £ omega inf( u(x) / u £H+ )=0 ce qui est absurde

montrons que sup( (u£H+,z£ K) ( u(z)) est fini, sinon on peut trouver une suite croissante u_n de H+ tel que lim( sup( z£ K) ( u_n(z)) =+00 , puisque K est compacte il existe z_n te K tel que sup( z£ K) ( u_n(z)) = u_n(z_n) , donc lim ( u_n(z_n)) )=+00 , quitte a extraire on peut supposer que z_n cvvers l £ omega , on déduit alors que sup( u(l)/ u £ H+)=+00 mais ceci equivaut à inf( u(l)/u £H+)=0 , ce qui est absurde d'ou le résultat

je m'excuse pour la mauvaise rédaction et l'absence des explications , je rectifierai plus tard

La première étape est parfaite , l'idée était effectivement d'utiliser le théorème de Dini

Pour la deuxième il y a un souci avec "... 1/u_n est croissante avec lim( 1/u_(n)(t)) = +00 donc qlq soit x£ omega lim( u_n(x ))=0..."

Ton idée est très intéressante, mais rien ne prouve que l'inverse de u_n reste dans H+, je rappelle que H est un sous espace vectoriel de l'espace
.

ma solution de la deuxieme implication est fausse vu que je n'ai pas bien saisi les conditions l'autre fois , je propose une autre ( sauf erreur):
remarquons d'abord que si u £ H+ alors soit : u=teta , soit qlq soit x £ omega : u(x) <> 0 , en effet supposons qu'il existe une fonction u de H+ et t £ omega tel que u( t)=0 , alors la suite d'applications : n*u est croissante et verifie qlq soit n n*u £ H+ , si il existe z tel que u( z) <> 0 alors n*u(z) -> +00 et donc n*u cv simplement vers +00 sur omega ce qui est absurde,

maintenant soit K un compact de R^n inclus dans omega ,et t £ omega , supposon qu'une telle constante c n'existe pas alors il existe une suite u_n de H+ tel que sup( u_n(z)) (z £K ) >= n^3*un( t) , vu que K est compact et un est continue alors il existe une suite z_n de K tel que qlq soit n u_n(z_n)>= n^3*u_n( t) ou encore g_n(z_n )>= n^3 avec g_n £ H+ et vérifie g_n( t)=1
considerons la suite des applications de H+ : f_n : som(k=1,k=n)( g_k/k²) ona : f_n est croissante et f_n( t) cv donc f_n cv simplement vers f continue sur omega , donc cv uniformément vers f sur K (d'apres Dini ) , quitte a extraire on peut supposer que z_n cv vers z £ K donc f_n (z _n ) cv vers f (z) , mais f_n(z_n ) >= n ce qui est absurde d'ou le résultat

je rectifie aussi la solution de la 1ere implication qui s'est averée fausse aussi :

soit u_n croissante , si 'il existe x de omega tel que u_n(x) ) n'est pas borné
et soit y £ omega ,alors u_n(y) >= 1/c * (u_n(x)) ( on peut toujours trouvé un voisinage compact de x) donc u est identiquement infinie,

sinon u_n cvs vers u ,on va montrer la convergence uniforme sur chaque compact K , il suffit de montrer la convergence uniforme de la serie sigma( u_(n+1)-u_n), on va montrer la convergence normale , soit K un compact inclus dans omega et t £ omega et soit c la constante qui verifie i , ona u_(n+1)-u_n £ H+ et sup( z£K)( u_(n+1)-u_n ) <= c*( u_(n+1)(t)-u_n(t)) , le reste est clair

Oui j'ai mal lu la première solution, je pense que la solution est correcte maintenant. Parfait !