un exo en arithmétihque

Montrer que :

(x^u=1[n] et x^v=1[n]) <--> x^(pgcd(u,v)) = 1[n]

quelque soit (x dans Z, u et v dans N* ,n>1 )

Posons d=u^v.Suffit de prouver qu'il existe deux entiers a et b de Z de signes differents tel que: d=au+bv.
Par symetrie de role, soit a>=0 et b<=0.
alors x^(au)=1[n] ainsi x^(d-bv)=1[n] avec x^(-bv)=1[n] et on conclut.

posant d=pgcd(v,u)

et posant r le petit nombre qui vérifie x^r=1[n]
il suffit de monter que r devise v et u ( on peut la démontrer par absurde )

d'où r devise d
alors il existe k appartiens a IN tel que , d=kr

et on a x^r=1[n]
alors x^d=1[n]
(première implication)

l'autre c top facile