inego

soit a et b deux reels positifs
tel que: ab=a+b
montrer que:
a/(b²+4)+b/(a²+4)>1/2

par C-S : LHS = sum a²\ ab^2+4a > (a+b)^2\ ab(a+b)+4(a+b)= (a+b)\ab+4=ab\(ab+4) d'ou il suffit de prouver que ab > 4 , ce qui est vrai par AM-GM . ab=a+b > 2rac(ab) ...

joli

voici une autre solution au probleme mais un peu longue tt de meme
3ndk a/(b²+4)+b/(a²+4)>1/2
<=> 2a(a²+4)+2b(b²+4)>(b²+4)(a²+4)
<=> 2a(a+b)²+8a+2b(a+b)²+8b>(ab)²+4(a²+b²)+16+8ab+2ab²+2a²b
<=> 2(a+b)^3+8(a+b)-7(a+b)²-16>0
donc pour demontrer la derniere propriete on note: f(a+b)= 2(a+b)^3+8(a+b)-7(a+b)²-16
On a f'(a+b)=6(a+b)²-14(a+b)+8
et on a delta=4
donc f'(a+b)>=0 <=> a+b£]-oo;1]U[4/3;+oo[
et on a a+b=ab
or d'apres IAG on a a+b>=2Vab
donc ab>=2Vab
d'ou ab>=4 qui conduit a a+b>=4
donc f'(a+b)>=0
donc f(a+b) est croissante sur R+
d'ou f(a+b)>=f(4)>0
ce qui conclut la demo

Avec Counter strike Xd !!! :