p^r+p^q=n²

trouver ts les triplets (p;q;r) de nombres premiers tels que
p^r+p^q
soit le carré d'un entier

r et q joue un rôle symétrique , on suppose alors q>=r
Si r=q ==> p^r+p^q=2p^r est un carré ==> p=2 est r+1 pair
Donc, dans ce cas les solutions sont (2,2k+1,2k+1) avec k dans N.

Si q>r, p^r+p^q=p^r(1+p^(q-r)) est un carré ==> r pair , r=2s
car (p^r,1+p^(q-r)) =1
==> 1+p^(q-2s)=d² avec (p,d)=1
==> p^(q-2s)=(d+1)(d-1)
==> d+1=p^a et d-1=p^b avec a+b=q-2s
==> p^a=p^b+2
==> p=2 , a=2 et b=1
==>p=2, q=2s+3
les solution sont (2,2s+3,2s) , (2,2s,2s+3) s dans N

Abdelbaki "r" est aussi premier donc s'il est pair il est egal à 2 nn???

(p,r,q) triplets de nombres premiers C A D ke tous les trois ils sont premiers?!!!

Cas : r=q:
2p^r=n²: si n est impair, ya pas de solution,
si n est pair; donc n² est multiple de 4, d'ou p^r pair, p=2
on obtient alors: 2^r+1= n² donc r+1 pair
D'ou p=2 et r=q avec r tous nombre premier différent de 2.

Cas : r>q

p^q(1+p^r-q)=n²: q est pair et premier donc q=2
==>p²(1+p^r-2)=n²
==>1+p^r-2=k²
==>p^r-2=(k-1)(k+1)
==>k-1=p^a et k+1=p^b avec a+b+2=r
==>p^b=p^a+2
==>p=2, a=1, b=2==>r=5
d'ou S=(2,2,5)(2,5,2)

slt rockabdel... tré bien pr le debut
pr le 2em cas :
puiske p^b=p^a+2
alors (p=2 ;a=1 ;b=2) ou (p=3 ;a=0 ;b=1)
donc on ora 4 solution ds ce cas
(2;2;5) (2;5;2) (3;2;3) (3;3;2)
c a d S={(2;2;5)(2;5;2)(3;2;3)(3;3;2)(2;k;k)/tel que k est un premier#2}

j'ai donné toutes les solutions avec r entier, c'est facile alors de choisir celles avec r premier.
J'ai pas fait attention à r premier car dans la démo n'intervient pas

oui abdelbaki attioui ta raison mais tu as comi une faute c pr cela que tu n'a pas trouvé les triplet (3;2;3) et (3;3;2)

aannoouuaarr a écrit:

puiske p^b=p^a+2
alors (p=2 ;a=1 ;b=2) ou (p=3 ;a=0 ;b=1)

Wi c vrai le deuxieme cas n'y était pas, mais est-ce-quya une maniere de trouver tous les cas possible, psk le premier c'était juste par observation

slt a tout le monde
(3.2.3);(3.3.2);(2.2.5);(2.5.2)et (2.P.P) avec P premier impair