E.F

déterminer toutes les fonctions : f:Z-----Z vérifiant les deux conditions suivantes:
!) quelque soit n appartenant a Z : f(n)f(-n)=f(n²)
!!) quelque soit(n,m) appartenant a Z² : f(n+m)=f(n)+f(m)+2mn

BONNE CHANCE ! ^^

allez c'est très facile !!

m=n=0 ==> f(0)=0
m=-n ==> f(n)+f(-n)=2n²

==> f(n) et f(-n) solutions de : x²-2n²x+f(n²)=0

==> Delta'= n^4-f(n²) est un carré ==> f(n)= n²

salut
==> f(n) et f(-n) solutions de : x²-2n²x+f(n²)=0
est ce possible d'éclaircir un peu cette partie
cependant je crois qu'on peut aussi arriver à f(n)=n^2
par f(n)+f(-n)=2n^2
f(n)=f(-n)= f(n^2)


en remplaçant on arrive à ce que 2f(n)=2n^2
puis f(n) =n^2

f(n) et f(-n) solutions de : x²-2n²x+f(n²)=0

Car f(n)+f(-n)=2n^2 et f(n)f(-n)= f(n²)

En général, si on connait le produit p et la somme s de deux réels a et b
alors a et b racines de l'équation : x²-sx+p=0

oh oui c vrai . merci

abdelbaki.attioui a écrit:

m=n=0 ==> f(0)=0
m=-n ==> f(n)+f(-n)=2n²

==> f(n) et f(-n) solutions de : x²-2n²x+f(n²)=0

==> Delta'= n^4-f(n²) est un carré ==> f(n)= n²

abdelbaki.attioui ;est-ce que vous pourriez m'expliquer ce qui est en rouge encore plus?

Ok
Les racines de x²-2n²x+f(n²)=0 sont f(n) et f(-n) dans Z
D'autre part, le delta prime de l'équation : D(n)=n^4-f(n²) alors D(n)>=0 car il y a deux racines
et [ f(n)=n²+VD(n) et f(-n)=n²-VD(n) ] ou [ f(n)=n²-VD(n) ou f(-n)=n²+VD(n)]
==> VD(n) est dans N donc D(n) est un carré.
mais D(n)=D(-n) ==> D(n)=0
==> f(n)=n²

Merci bien