Problèmes Ramadan 2012

Pb 1

Soit n€N. Calculer le cardinal , noté c(n), de l'ensemble des nombres entiers compris entre 1 et 10^n tels que le chiffre 1 ne figure pas dans l'écriture décimale.

Par exemple: c(1)=8

Pb 1 ( solution)

On raisonne par récurrence, soit c(n) le cardinal de l'ensemble de tels nombres, alors c(n+1)=c(n)+x(n); t.q x(n) est le cardinal de nombres entiers compris entre 10^n et 10^(n+1) tq le chiffre 1 ne figure pas dans leur écriture décimale. On décompose l'intervalle 10^n;10^(n+1) en ensembles S_i={i.10^n,i.10^n+1,...,(i+1).10^n -1} où 1<=i<=9.
Pour i=1 : le cardinal des nombres vérifiant la propriété est : 0.
Pour 2<=i<=9 : le cardinal des nombres vérifiant la propriété est : c(n)+1.
Ainsi x(n)=8(c(n)+1), ainsi : c(n+1)=9c(n)+8 => c(n+1)+1=9(c(n)+1)
Soit c(n)=9^n-1.

Exact. Voici un autre problème

Pb 2

Soit f:[0,1] ----> R, une fonction continue vérifiant f(0)=f(1)=0. On suppose que f dérivable sur ]0,1[ . Montrer qu'il existe c€]0,1[ tel que f(c)=f'(c).

Pb 3

Montrer que pour tout entier positif n les équations x² + y² = 2n et x² + y² = n
ont le même nombre de solutions entières.

une éventuelle solution pour le problème 2 :

on définit naturellement g(x)= f(x)*exp(-x). une fois dérivé, on remarque que g' est dérivable, et ainsi de suite, g est infiniment dérivable sur ]0,1[ et continue sur [0,1]. puisque g(0)=g(1), il existe, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, x0 tel que g'(x0)=g(1)-g(0)=0 ==> il existe x0 €]0,1[ tel que f(x0)=f'(x0).

pour PB 3 :

si (x,y) £ Z² tq x²+y² = n => (x-y,x+y) £ Z² solution pr (E2)
si (x,y) sol de (E2) => (x-y/2,x+y/2) £ Z² sol (E1)
d'ou l'égalité de nombre de solution entiére

Pb 4

Pour chaque entier positif impair n, montrer que 1 · 3 · 5 · · · (2n - 1) + 2 · 4 · 6 · · · 2n est divisible par 2n + 1.

une Réflexion tres deficille
sou

عاد ثلاثة تجار الى ديارهم بسلع مكونة من زرابي محمولة على ظهر 30 حصانا 10 من بين هذه الخيول محملة ب 19 زربية و10 منها محملة بخمس زرابي لكل حصان والخيول المتبقية محملة ب 33 زربية لكل حصان.عند بلو

Pb 5

Supposons que f et g sont des fonctions à valeurs positives continues sur l'intervalle fermé [0, 1] telle que int(f,[0,1])=int(g,[0,1])=1. Montrer qu'il existe un sous-intervalle fermé J de [0, 1] pour lequel int(f,J )=int(g,J)=1/2


N.B. int(f, [a,b]) désigne l'intégrale de f sur l'intervalle [a,b]

plez une solition de Réflexion

عاد ثلاثة تجار الى ديارهم بسلع مكونة من زرابي محمولة على ظهر 30 حصانا 10 من بين هذه الخيول محملة ب 19 زربية و10 منها محملة بخمس زرابي لكل حصان والخيول المتبقية محملة ب 33 زربية لكل حصان.عند بلو
غ التجار الدوار حيث يقيمون أرادوا اقتسام مجمل تجارتهم بالتساوي فيما بينهم.

كيف يمكنهم القيام بذلك بدون الحاجة لفك أو انزال حمولات الخيول
https://mathsmaroc.jeun.fr/t19394-16051587157515741604-160415751608160416051576161015751583-2012#163962

Je suppose que les 10 premiers chevaux portent 19 tapis chacun ( l'énoncé n'est pas clair). Toutefois, si on ne sait pas comment les 19 tapis sont repartis on peut s’inspirer de cette preuve.

le nombre total des tapis est : 19*10+5*10+33*10=570. Ainsi chaque commerçant prendra 190 tapis .
Avec la condition du problème ( logistique) il s'agit de résoudre l'équation : 19x+5y+33z=190

x , y et z représentent les nombres de chevaux de chaque type, x,y et z sont compris entre 0 et 10.

Méthode direct
Faire un tableau xls pour déterminer 3 triplets (x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) et (x3,y3,z3 ) vérifiant
l'équation et tels que x1+x2+x3=10 , y1+y2+y3=10 et z1+z2+z3=10

2ème méthode
Résoudre l'équation 19x+5y+33z=190 dans Z^3 en utilisant l’arithmétique

radouane_BNE a écrit:

une éventuelle solution pour le problème 2 :

on définit naturellement g(x)= f(x)*exp(-x). une fois dérivé, on remarque que g' est dérivable, et ainsi de suite, g est infiniment dérivable sur ]0,1[ et continue sur [0,1]. puisque g(0)=g(1), il existe, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, x0 tel que g'(x0)=g(1)-g(0)=0 ==> il existe x0 €]0,1[ tel que f(x0)=f'(x0).

La réponse est juste mais :
- g n'est pas forcement infiniment dérivable sur ]0,1[
- le théorème des accroissement finis ( en fait c"est le théorème de Rolle)

nn machi hia hadik hit 19 dial zrabi kolhom f 10 dial ala7sina

nn machi hia hadik hit 19 dial zrabi kolhom f 10 dial ala7sina
machi li koli 7isan

k.abdo a écrit:

nn machi hia hadik hit 19 dial zrabi kolhom f 10 dial ala7sina
machi li koli 7isan

Dans ce cas le nombre total des tapis est 399 ainsi la part de chacun est 133
On suppose que chaque cheval doit porté au moins un tapis
A, B, et C les commerçants
Soit n le nombre de chevaux qui portent 1 tapis parmi les 10 chevaux portant 19 tapis.
On a n>0 ( pas de cheval vide)

Si n>=2 ==> il y a au mois 2 chevaux portant 1 tapis chacun et les autres 8 chevaux portent 17 tapis ==>
A prend 1+4*33=133 ( 1 cheval de 1 tapis et 4 chevaux de 33 tapis)
B prend 1+4*33=133 ( 1 cheval de 1 tapis et 4 chevaux de 33 tapis)
C prend 17+10*5+2*33=133 ( 17 tapis, 10 chevaux de 5 tapis et 2 chevaux de 33 tapis)

Si n=1 ==> les autres 9 chevaux portent chacun 2 tapis ==>
A prend 1+4*33=133 ( 1 cheval de 1 tapis et 4 chevaux de 33 tapis)
B prend 7*2+4*5+3*33=133 ( 7 chevaux de 2 tapis, 4 chevaux de 5 tapis et 3 chevaux de 33 tapis)
C prend 2*2+6*5+3*33=133 ( 2 chevaux de 2 tapis, , 6 chevaux de 5 tapis et 3 chevaux de 33 tapis)

PB4

1 · 3 · 5 · · · (2n - 1) + 2 · 4 · 6 · · · 2n = n! (1 + (-1)^n ) mod[2n+1]=0[2n+1] (n impair)

pb2 :

Puisque n est impaire, on pose n=2p+1, ce qui revient à montrer que 1 · 3 · 5 · · · (2p + 1) + 2 · 4 · 6 · · · (2p+2) est divisible par 2p+3 quelque soit p de IN.

Modulo 2p+3 on trouve :

1 = -(2p+2) [2p+3],3 = -(2p+0) [2p+3],5 = -(2p- 2) [2p+3],...,2p+1 = -2[2p+3]

Multiplions tout cela donne :

1 · 3 · 5 · · · (2p + 1) + 2 · 4 · 6 · · · (2p+2)= 0 [2p+3]