Equation fonctionnelle 2

Soit k un nombre réel. Déterminer les fonctions f de R dans R telles que, pour tous réels x et y :

f(x)+f(y)^2=kf(x+y^2)

f(x)+f(y)²=kf(x+y²)
pour x=y=0 , on a f(0)+f(0)²=kf(0)
dou f(0)=0 ou f(0)= k-1
si f(0)=0
alors f(x)=kf(x) d ou
si k#1 f est nulle
si k=1 alors f(x)+f(y)²=f(x+y²) alors f(x+y²)-f(x)=f(y)²>=0 dou f croissante par suite f(x)=x (c classik) on
si f(0)=k-1 (on pt supposer que k#1 sinon f(0)=0 qu on a deja traité)
pour y=0 on a f(x)+(k-1)²=kf(x)
d ou f(x)(1-k)=-(k-1)² d ou f(x)=k-1
conclusion ya 3 solution:
1) la fonction nulle f(x)=0 pour tt x
2) la fonction f telle que f(x)=k-1 pour tt x
3) la fonction f(x)=x si k=1

Bonjour

Soit (1) f(x)+f(y)²=kf(x+y²) pour tout x,y de IR

Pour x=y=0, f(0)+f(0)² =kf(0) . Alors f(0)=0 ou f(0)=k-1.

Ceci nous invite à discuter les cas k=1 ou k#1

Si k#1 , alors f=0 ou f est la constante k-1, en effet:
Si f(0)=0, alors (1) donne pour x et y=0 : f(x)=kf(x) donc f(x)=0
Si f(0)=k-1, alors f(x)+(k-1)²=kf(x) donc f(x)= k-1.

Si k=1 , alors f(0)=0.
Pour x=0, (1) donne f(y)²=f(y²) pour tout y.

soit x dans IR, y dans IR+ ; posons y=z² .

(f(x)+f(y))²=(f(x)+f(z)²)²=f(x+z²)²=f(x+y)²=f((x+y)²)
=f(x²+y²+2xy)=f(x²+2xy)+f(y)²=f(2xy)+f(x)²+f(y)²

alors 2f(x)f(y)=f(2xy) . Mais f(2y)=f(y+z²)=f(y)+f(z²)=2f(y)

f(0)=f(-y+y)=f(-y+z²)=f(-y)+f(y)=0
Donc f(-y)=-f(y)

Donc f(x)f(y)=f(xy) pour tout x , y dans IR .
De même, on montre que f(x)+f(y)=f(x+y) pour tout x , y dans IR .
le seul morphisme de corps de IR dans IR est l'identité.

En réumé: les solutions sont :
- Si k=1, f=0 ou f=id_IR
- Si k#1, f=0 ou f=k-1

AA++