Maximiser

Soient x et y et z trois nombres réels tels que : x+y+z=1

Trouver le maximum de : P=2xy+3yz+7xz

4/3

Méthode?
Et j'ai trouvé 21/10 pour (x,y,z)=(9/10;-7/10;8/10)

konica a écrit:

Méthode?
Et j'ai trouvé 21/10 pour (x,y,z)=(9/10;-7/10;8/10)

Soient x et y et z trois nombres réels positifs

C'était une faute d’inattention, les nombres sont réels et c'est tout.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Max+%5B+2xy%2B3yz%2B7xz%5D+%2C+for+x%2By%2Bz%3D1 , mais ce ci ne prouve pas que c'est la bonne valeur car j'ai trouver la valeur 4\3 est atteinte

Méthode :

Avec les multiplicateurs de Lagrange.

On note la fonction : P(x,y,z)=2xy+3yz+7xz
Et la contrainte : c(x,y,z)=x+y+z-1=0
On introduit le multiplicateur de Lagrange (un seul multiplicateur puisqu’on a une seule contrainte) noté v (lambda normalement) tel qu'on a la fonction L définie par:

L (x,y,z,v) = P(x,y,z) - v*c(x,y,z) = 2xy+3yz+7xz-v(x+y+z-1)

On calcule maintenant les dérivations partiales de la fonction L en fixant à chaque fois un variable parmi x,y et z.
On aura en fixant x: dl/dx=2y+7z-v
On aura en fixant y: dl/dy=2x+3z-v
On aura en fixant z: dl/dz=7x+3y-v

Ces dérivations sont égales à zéro ce qui nous mène à résoudre le système suivant :

2y+7z=v
2x+3z=v
7x+3y=v
x+y+z=1

Ainsi on aura le couple:
(x,y,z)=(9/10;-7/10;4/5)
De là, on substituant dans la fonction P on aura la valeur maximale qu'est 21/10.
Reste à prouver que l'inégalité est valable pour 21/10. Et là je me bloque!

je ne connais pas la méthode de larange , mais l'approximation que tu as obtenue n'est pas juste je pense , 4\3 est bien atteinte pour z=0 et x solution de l'equation 2x(1-x)=4\3 avec y=1-x .

Mais 21/10 > 4/3 non?

Ah oui tu as raison désolé , pour 21\10 , il te suffit de prouver que :10 P=< 21(x+y+z)² ce qui est vrai par un simple développement

Je vous propose cette dernière:
Soit k un réel positif. trouver le minimum de k(x²+y²)+z²
avec x;y;z >=0 tel que xy+yz+zx=1

konica a écrit:

Méthode :

Avec les multiplicateurs de Lagrange.

On note la fonction : P(x,y,z)=2xy+3yz+7xz
Et la contrainte : c(x,y,z)=x+y+z-1=0
On introduit le multiplicateur de Lagrange noté v (lambda normalement) tel qu'on a la fonction L : (un seul multiplicateur puisqu'on a une seule contrainte).

L (x,y,z,v) = P(a,b,c) - v*c(x,y,z) = 2xy+3yz+7xz-v(x+y+z-1)

On calcule maintenant les dérivations partiales de la fonction L en fixant à chaque fois un variable parmi x,y et z.
On aura en fixant x: dl/dx=2y+7z-v
On aura en fixant y: dl/dy=2x+3z-v
On aura en fixant z: dl/dz=7x+3y-v

Ces dérivations sont égales à zéro ce qui nous mène à résoudre le système suivant :

2y+7z=v
2x+3z=v
7x+3y=v
x+y+z=1

Ainsi on aura le couple:
(x,y,z)=(9/10;-7/10;4/5)
Ainsi, on substituant dans la fonctions P on aura la valeur maximale qu'est 21/10.
Reste à prouver que l'inégalité est valable pour 21/10. Et là je me bloque!

cette methode c'est pas le programme maths spé ?!