Fantastique !

soit a,b,c les cotés d'un triangle dans les angles sont =< pi\2 , Prouver que : .

Oty a écrit:

soit a,b,c les cotés d'un triangle dans les angles sont =< pi\2 , Prouver que :

.

je crois qu'on va poser x=b²+c²-a²>0 et ainsi de suite......

Oty a écrit:

soit a,b,c les cotés d'un triangle dans les angles sont =< pi\2 , Prouver que :

.

salam smehliya 3afak kifach katekteb les formules makana3rafch !!! merci!!!

younesmath2012 a écrit:

salam smehliya 3afak kifach katekteb les formules makana3rafch !!! merci!!!

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php kteb la formules li bghiti ou dire copier le lien li ki tekteb en bas , ou collihe fe ''image'' fache kate koune ate kteb poste dialek ...

Oty a écrit:

younesmath2012 a écrit:

salam smehliya 3afak kifach katekteb les formules makana3rafch !!! merci!!!

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php kteb la formules li bghiti ou dire copier le lien li ki tekteb en bas , ou collihe fe ''image'' fache kate koune ate kteb poste dialek ...

merci beaucoup!!!!

Méthode 1

On note A, B et C les angles apposés aux côtés de longueur a,b et c

On a les formules des cosinus ( ou Al Kashi) :

a²=b²+c²-2bc cosA
b²=a²+c²-2ac cosB
c²=a²+b²-2ab cosC

et la formule des sinus : a/sinA=b/sinB=c/sinC


Méthode 2

on pose x= b+c-a , y=a+c-b et z=a+b-c par définition x,y et z>0
x+y=2c
x+z=2b
y+z=2a

a²+b²-c²
=(b-a)²-c²+2ab
=(b+c-a)(b-c-a)+2ab
=-xy+(y+z)(x+z)/2
= - xy+( xy+xz+yz+z²)/2
= ( -xy+(x+y)z+z²)/2

de même a²+c²-b²= ( -xz+(x+z)y+y²)/2 et b²+c²-a²= ( -yz+(y+z)x+x²)/2
L'inégalité devient
V(-xy+(x+y)z+z²)/x+V( -yz+(y+z)x+x²) /y+V (-xz+(x+z)y+y²) / z >= 3V2

@abdelbaki.attioui , pouvez vous donnez une solution complète ? Merci .

L'inégalité devient
V(-xy+(x+y)z+z²)/x+V(-yz+(y+z)x+x²) /y+V(-xz+(x+z)y+y²) / z >= 3V(2)

on pose u=x/y, v=y/z et w=z/x alors uvw=1
L'inégalité devient
V(-1/u+(1+1/u)w+w²)+V(-1/v+(1+1/v)u+u²)+V(-1/w+(1+1/w)v+v²) >= 3V(2)
<===>
V(-vw+(1+vw)w+w²)+V(-uw+(1+uw)u+u²)+V(-uv+(1+uv)v+v²) >= 3V(2)
<===>
Vw.V(-v+1+vw+w)+Vu.V(-w+1+uw+u)+Vv.V(-u+1+uv+v) >= 3V(2)

qqs p,q>=0, V(2).V(p+q)>=V(p)+V(q)

==>
V(2).V(-v+1+vw+w)>=1+V(-v+vw+w)
V(2).V(-w+1+uw+u)>=1+V(-w+uw+u)
V(2).V((-u+1+uv+v)>=1+V(-u+uv+v)

==>
Vw.V(-v+1+vw+w)+Vu.V(-w+1+uw+u)+Vv.V(-u+1+uv+v)
>=V(w/2)(1+V(-v+vw+w))+V(u/2)(1+1+V(-w+uw+u))+V(v/2)(1+V(-u+uv+v))
=V(w/2)+V(u/2)+V(v/2)+V(w/2)V(-v+vw+w)+V(u/2)V(-w+uw+u)+V(v/2)V(-u+uv+v))
>=3/V(2)+V(w/2)V(-v+vw+w)+V(u/2)V(-w+uw+u)+V(v/2)V(-u+uv+v)) car Vu+Vv+Vw>=3 IAG
De même IAG ==>
V(w)V(-v+vw+w)+V(u)V(-w+uw+u)+V(v)V(-u+uv+v))>=3 V[(-v+vw+w)(-w+uw+u)(-u+uv+v)]^(1/3)

(-v+vw+w)(-w+uw+u)(-u+uv+v)>=1 à vérifier ?