younesmath2012---9

WOOW, vous avez beaucoup d'inégalité MR.Younes a la fois

les inegalites ne finissent jamais Mr''oty''

oui vous avez raison comme toute chose en maths

celci est vraiment une trés belle inégalité merci beaucoup , le cas d'égalité est quand : (0,1,2) permutable

Vraiment tres belle inégalité voici Ma solution : posant x=a-b , y=b-c , z=c-a on a : x+y+z=0 l'inégalité est équivalente :
, puisque l'inégalité reste homogène : Posant S=x+y+z=0 et Q=xy+yz+zx et P=xyz , par l’homogénéité on peut assumé : Q= -1 . alors l'inégalité est équivalente a :
, puisque parmi les trois nombres x,y,z il existe tjrs 2 avec le même signe assumant xy >=0 on d'apres S=0 que z=-(x+y) , et d'apres Q= - 1 on en déduit que : (x+y)²=xy+1 . ainsi on posant t=xy . on a :
aussi on a d'apres xy+1=(x+y)² >=4xy que t=< 1\3 .
et puisque :


ce qui est vrai , l'inégalité est démontré (sauf erreur ) .

Est ce qu'on peut supposer que xy+xz+yz=-1 , étant donné qu'on a déjà la contrainte x+y+z=0 ?

x²+y²+z²=(x+y+z)² - 2(xy+yz+xz)=-2(xy+yz+xz) donc le xy+yz+xz < 0

Oty a écrit:

x²+y²+z²=(x+y+z)² - 2(xy+yz+xz)=-2(xy+yz+xz) donc le xy+yz+xz < 0

je veux dire que tu ne peux pas supposer une autre contrainte sur les variables alors que tu as déjà une, même si l'expression est homogène..

pk ? as tu un contre exemple ou tu peux le démontrer ? la premiere contrainte n'est pas du a l'homogénisation mais a la substitution

pour voir que c'est possible , xy+yz+xz=-k² on remplace x=ka , y=kb ,z=kb ,alors : ab+bc+ca= - 1 et ka+kb+kc=0=> a+b+c=0 et ab+ac+bc=-1 ce systeme a plusieurs solution et puisque les ''k '' se simplifie on peut garder la notation x y et z , aussi ce raisonnement n'as marché que pour ce cas , sa ne veut pas dire qu'on peut le faire tout le temps dans le cas ou x+y+z=k !

Oty a écrit:

Vraiment tres belle inégalité voici Ma solution : posant x=a-b , y=b-c , z=c-a on a : x+y+z=0 l'inégalité est équivalente :
, puisque l'inégalité reste homogène : Posant S=x+y+z=0 et Q=xy+yz+zx et P=xyz , par l’homogénéité on peut assumé : Q= -1 . alors l'inégalité est équivalente a :
, puisque parmi les trois nombres x,y,z il existe tjrs 2 avec le même signe assumant xy >=0 on d'apres S=0 que z=-(x+y) , et d'apres Q= - 1 on en déduit que : (x+y)²=xy+1 . ainsi on posant t=xy . on a :
aussi on a d'apres xy+1=(x+y)² >=4xy que t=< 1\3 .
et puisque :


ce qui est vrai , l'inégalité est démontré (sauf erreur ) .

Ou est le cas d'égalité?

ali-mes a écrit:

Oty a écrit:

x²+y²+z²=(x+y+z)² - 2(xy+yz+xz)=-2(xy+yz+xz) donc le xy+yz+xz < 0

je veux dire que tu ne peux pas supposer une autre contrainte sur les variables alors que tu as déjà une, même si l'expression est homogène..

Mois aussi; je pense qu'il n'a pas le droit de supposer une autre contrainte.
Je crois qu'en ajoutant cette contrainte, on va diminuer les cas d'égalité; voire oublier quelques uns.
Je présente ma solution dans quelques instants.
Et j'attends des justifications qui tiennent au bout de la part de Oty s'il est encore sûr qu'on peut ajouter une nouvelle contrainte.

younesmath2012 a écrit:

Soient a,b et c des réels 2 à 2 distincts.
Montrez que:

Comme la solution qui me précède, je mets et .
On aura de plus que , et on doit démontrer que .
Selon le signe des nouvelles variables, on doit forcément avoir deux du même signe et un troisième qui est leur différent.
Dans les deux cas à traiter, on se ramène à démontrer que où , et sont des réels positifs vérifiant .
En simplifions l'écriture, la dernière inégalité équivaut à .
Ce qui est clairement vrai, en utilisant la fameuse inégalité de Cauchy Schwartz...
(En effet, la première fraction est supérieure à 2, la seconde à 8 et la troisième à 1/2).
Pour ce qui est du cas d'égalité; c'est quand deux variables sont égaux et le troisième et l'inverse de leurs somme.
Ce qui se projette sur le problème initial par la fait que la somme de deux variables est le double du troisième.
(C'est à dire si a+b=2c ou b+c=2a ou c+a=2b).
CQFD.
Sauf erreurs.

bravo c'est juste!!!

@nmo , l'contrainte x+y+z=0 n'est pas du a l'homogénito mais au changement de variable ! le cas d'égalité est quand t=1\3 => x=y et z=-2c comme celui que tu as trouvé ! et aussi quand t=-2\3 . s'il vous plait ne réfuté pas une solution sans justification .

Bon voila je vais clarifier encore : remarquon d''abord avant de faire la substition que :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a-b)(b-c)&plus;(c-a)(b-c)&plus;(a-b)(c-a)=-[\frac{3(b-c)^2&plus;(2a-b-c)^2}{4}]<&space;0\Leftrightarrow&space;\exists&space;k^2&space;\{(a-b)(b-c)&plus;(c-a)(b-c)&plus;(a-b)(c-a)=-k^2\}[/img] on homogénisant avec a=km , b=kn , c=ks on a \sum (m-n)(n-s) = - 1 , on posant x=m-n , y=n-s ....
on a bien xy+yz+xz=-1 et x+y+z=0 . c'est le mieux que je puisse faire si vous n'etes pas tjrs convaincu j'abondonne ....

Ma solution viens d'etre confirmé ICI

salam wach ta9dar tjawab 3lih bla directe bla madjid chi contrainte!!!!

Oty a écrit:

@nmo , l'contrainte x+y+z=0 n'est pas du a l'homogénito mais au changement de variable ! le cas d'égalité est quand t=1\3 => x=y et z=-2c comme celui que tu as trouvé ! et aussi quand t=-2\3 . s'il vous plait ne réfuté pas une solution sans justification .

Oty a écrit:

Ma solution viens d'etre confirmé ICI

Ce que je comprends de ce qui précède est la philosophie suivante:
Si on part de la contrainte x+y+z=0, on peut écrire z=-(x+y) et démontrer l'inégalité seulement pour ces deux variables.
Dans ce cas, l'inégalité est homogène; on peut donc supposer une contrainte sur x et y du type xy+x²+y²=1.
En utilisant z=-(x+y), on doit avoir xy+yz+zx=-1.
Je pense maintenant que l'affaire est claire.
Je m'excuse pour ma hâte...