Inégalitées .

soit a,b,c Des réels tel que : a+b+c=0 et a²+b²+c²=3 . Prouver que :

a+b+c=0 et a²+b²+c²=3 ==> a,b,c non tous nuls et deux des trois sont de même signe. Par exemple
a,b>=0>=c ==> c<0 sinon a+b=-c=0 ==> a=b=0 absurde

a+b=-c ==> a²+b²+2ab=c² ==> 3-c²+2ab=c² ==> 2ab=2c²-3 >=0 car a,b>=0 ==> c²>=3/2
==> a et b racines de x²+cx+(c²-3/2)=0 ==> le discriminant= 6-3c²>=0 ==> c²=<2

==> 2a=-c+V(6-3c²) et 2b=-c-V(6-3c²)

==> a^5b+b^5c+c^5a=f(c) avec 3/2=<c²=<2

Un étude directe de f permet de conclure

mais c'est de degrés 5 , sa devrait donné des calcule géant , s'il vous plait vous pouvez poster votre etude de f(c) ? Merci .

Oty a écrit:

mais c'est de degrés 5 , sa devrait donné des calcule géant , s'il vous plait vous pouvez poster votre etude de f(c) ? Merci .

OK!!!

2a=-c+V(6-3c²) et 2b=-c-V(6-3c²) avec c<0 et 3/2=<c²=<2 ==> 0=<6-3c²=<3/2

V(3/2)=<2a=<V(2)+V(3/2) = (2+V(3))/V(2) et 0=<2b=<V(2) et -V(2) =< c=<-V(3/2)

a^5b =<( 2+V(3))/2V(2))^5. 1/V(2)=( 2+V(3))^5/2^8 .
b^5c =<-(1/V(2))^5 .V(3)/V(2)=-V(3)/2^3
c^5a=< - V(3)^5/V(2)^5.(2+V(3))/2V(2) = -3². V(3).(2+V(3))/2^4=-3².V(3)/2^3 -3^3/2^4


===>
2^8.(a^5b+b^5c+c^5a)
=< ( 2+V(3))^5 -2^5.V(3) - 3².V(3).2^5-3^3.2^4
= ( 2+V(3))^5 -5.2^6.V(3) -3^3.2^4
=<2^(10)-5.2^6.V(3) -3^3.2^4

==> a^5b+b^5c+c^5a=<4-20V(3)-27*16 <-3 sauf erreur

brina chi tarika zwina katafteh chahiya !!!!!!!

On peut "géométriser"
Soit P le plan de R^3 : a+b+c=0
Soit S la sphère : a²+b²+c²=3
PnS est un cercle de R^3 -son équation peut être déterminer paramétriquement ....

Comme on l'on peut "trigonométriser" on pose r=racine(3)
Coordonnées sphériques
a= r cos(u)cos(v)
b= r sin(u)cos(v)
c= r sin(v)

a+b+c=0
<==> cos(u)cos(v)+sin(u)cos(v)+sin(v)=0
<==> cos(u)+sin(u)=-tan(v) car cos(v)#0


a^5b= r^6 cos^5(u) cos^6(v) sin(u)
b^5c= r^6 sin^5(u) cos^5(v) sin(v)
c^5a =r^6 cos(u) cos(v) sin^5(v)

a^5b+b^5c+c^5a
= .....

à suivre

Mr ''oty'' tu peut nous poster votre solution!!!!

younesmath2012 a écrit:

Mr ''oty'' tu peut nous poster votre solution!!!!

Ah bon! Je ne savais pas que Oty est monsieur "inégalité"

younesmath2012 a écrit:

Mr ''oty'' tu peut nous poster votre solution!!!!

voila : on remplace par c=-(a+b) . et on multiplie par 9 l'inégalité est equivalente a :

abdelbaki.attioui a écrit:

Ah bon! Je ne savais pas que Oty est monsieur "inégalité"

qu'est ce que je dois comprendre de ce propos ?!

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

Ah bon! Je ne savais pas que Oty est monsieur "inégalité"

qu'est ce que je dois comprendre de ce propos ?!

C'est un compliment. Continuer!