exo-1

a,b,c des reels appartenant a l'intervalle ]-1;1[ MQ: ab+bc+ca+1 >0

si a,b,c sont de même signe alors ab+bc+ac>0
sinon on peut se ramener à montrer que bc+1>ab+ac pour 0<a<b<c<1
ce qui est évident puisque bc+1>ab+1>ab+ac

reponse incomplete refuse
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Voici ma solution :
procédant pas la substitution : a=1-x , b=1-y , c=1-z (0<x,y,z< 2)
l'inégalité est équivalente a :

Assumant x>=y>=z
la dérivé par rapport a x est
f'(x)=y+z-2
considérant les cas suivant :
si y,z >=1
alors f est croisante donc
f(x) >=f(1)=2-y-z+yz=1+(z-1)(y-1)>=0 .
Si y,z =< 1 alors f est décroisssante
d'ou f(x) > f(2)=yz >0 .
dernier cas : x,y>=1 et z=<1 .
dérivant maintenant par rapport a z on a :
f'(z)=x+y-2 >=0 d'ou f est croissante
alors f(z) > f(0)=4+xy-2x-2y=(x-2)(y-2) > 0 .
fin de la démonstration .

ok reponse correcte (mais pas jolie)

Merci , pouvez vous posté votre réponse ?
Merci .

on a (1+a)(1+b)(1+c)>0
et (1-a)(1-b)(1-c)>0
puis en sommant on trouve 2(1+ab+bc+ca)>0 cqfd.

Bravo , Trés jolie preuve .
de votre preuve découle la généralisation suivante :
quelque soit p >=0 si a,b,c appartiennent a ]-p,p[
alors ab+bc+ca+p >=0 .

non la relation qui decoule est la suivante:
ab+bc+ca+p²>= (tu peux refaire les calculs)
rq: l'inegalite est stricte!!!

oui désolé faute de frappe