x+y+z=1/x+1/y+1/z

x,y,z >0 tq $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ montrer que :

$x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$

Bonjour, voici ce que j'ai fait:

Premièrement , on fait la substitution: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20a=\frac{1}{x}\\%20b=\frac{1}{y}\\%20c=\frac{1}{z}%20\end{matrix}\right$ , la condition devient: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
Et l'inégalité à démontrer est: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .

On pose: p=a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc.
Il vient qu'on a: pr=q, et on veut démontrer que: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
D'après Schur: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ , donc il suffit montrer que: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
ce qui est vrai, car on a: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
d'où: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ ...

vous pouvez également montrer que : 4<=abc+a+b+c avec le même condition ...

ali-mes a écrit:: Bonjour, voici ce que j'ai fait:

Premièrement , on fait la substitution: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20a=\frac{1}{x}\\%20b=\frac{1}{y}\\%20c=\frac{1}{z}%20\end{matrix}\right$ , la condition devient: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
Et l'inégalité à démontrer est: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .

On pose: p=a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc.
Il vient qu'on a: pr=q, et on veut démontrer que: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
D'après Schur: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ , donc il suffit montrer que: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
ce qui est vrai, car on a: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ .
d'où: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ ...

bravo Mr "ali-mes" bonne et jolie reponse !!!

Dernière édition par ali-mes le Dim 02 Sep 2012, 01:14, édité 1 fois

az360 a écrit:: vous pouvez également montrer que : 4<=abc+a+b+c avec le même condition ...

C'est plutôt a+b+c +abc >= 2rac(3) ??

Voici: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ , on a: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ parce que: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ ...

younesmath2012 a écrit:: bravo Mr "ali-mes" bonne et jolie reponse !!!

Merci.

ali-mes a écrit:

az360 a écrit:: vous pouvez également montrer que : 4<=abc+a+b+c avec le même condition ...

C'est plutôt a+b+c +abc >= 2rac(3) ??

Voici: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ , on a: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ parce que: $x+y+z=1/x+1/y+1/z Gif$ ...

az360 a écrit:: bravo Mr "ali-mes" bonne et jolie reponse !!!

Merci.

mais : 2sqrt(3) < 4
sinon l’égalité c'est quand dans votre ineq ?? (tu trouvera qu'il est stric.)

Oui, vous avez raison, excusez moi...

Sujet: Re: x+y+z=1/x+1/y+1/z Sam 01 Sep 2012, 15:58

proof of : a+b+c + abc >= 4
3*(a+b+c)/3 + abc >= 4sqrt[4](abc(a+b+c)^3 / (27)) = 4sqrt[4]((ab+bc+ca)(a+b+c)² / (27))
mais on a : ab+bc+ca >= 3 et (a+b+c)² >= 3(ab+bc+ca) >= 3 donc
(ab+bc+ca)(a+b+c)² >= 27 d'ou le resultat