N.B. toutes les inégalités sont larges
si a,b,x,y sont de même signe alors a=b=x=y=0
sinon l'un est <0 et les 3 autres positifs ou 2 positifs et 2 négatifs
Puisque l'inégalité reste inchangé par permutation car
|a+y|+|b+y|+|x+y|=|b+x|+|a+x|+|a+b|=...
On se ramène à a<0 et b, x , y >0 ou a , b <0 et x, y>0
si a<0 et b, x , y >0
|a+y|+|b+y|+|x+y|=|b+x|+|b+y|+|x+y|=2x+2y+2b = x+y+b -a =|x|+|y|+|b|+|a|
si a , b <0 et x, y>0 ==> |x|+|y|+|b|+|a| > |a+y|+|b+y|+|x+y| si -a-b>|a+y|+|b+y|
si y>-a et y>-b ==> |a+y|+|b+y|=a+b+2y=-x+y=-2x-a-b< -a-b car x > 0
si y>-a et y<-b ==> |a+y|+|b+y|=a-b < -a-b car a< 0
si y<-a et y>-b ==> |a+y|+|b+y|=-a+b< -a-b car b < 0
si y<-a et y<-b ==> |a+y|+|b+y|=-a-b-2y< -a-b car y > 0
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