x,y>=0

td montrer que

(première tentation .. )
Si x=y=0, l'inégalité est vérifiée.
Soit x,y>0, on va chercher tout les (x,y) vérifiant le système x^3+y^3-x+y = 0
x(x²-1) + y(y²+1) = 0

x = 1, et y = 0, ou x = -1, et x=0
ces deux couples vérifients l'inégo.

Mohammed_Lahlou a écrit:

(première tentation .. )
Si x=y=0, l'inégalité est vérifiée.
Soit x,y>0, on va chercher tout les (x,y) vérifiant le système x^3+y^3-x+y = 0
x(x²-1) + y(y²+1) = 0

x = 1, et y = 0, ou x = -1, et x=0
ces deux couples vérifients l'inégo.

Ce qui est en rouge est tellement faux!
Il se peut que x²-1 soit négatif...
De plus, il est clair que les solutions de cette équation sont innombrables!
Essaie autrement!

nmo a écrit:

Mohammed_Lahlou a écrit:

(première tentation .. )
Si x=y=0, l'inégalité est vérifiée.
Soit x,y>0, on va chercher tout les (x,y) vérifiant le système x^3+y^3-x+y = 0
x(x²-1) + y(y²+1) = 0

x = 1, et y = 0, ou x = -1, et x=0
ces deux couples vérifients l'inégo.

Ce qui est en rouge est tellement faux!
Il se peut que x²-1 soit négatif...
De plus, il est clair que les solutions de cette équation sont innombrables!
Essaie autrement!

Ah oui, cela me manquait, je vais essayer autrement, merci nmo pour la remarque .

solution :
d'apres C.S : (x²+y²) <= sqrt((x^3 + y^3)(x+y)) = sqrt(x²-y²)
donc il suffit de montrer que : x² - y² <= 1 d'ou x² <= 1 +y²
mais cela est vrai car : x(x²-1) = -(y^3+y) <= 0 donc : x <= 1 alors : x² <= 1 +y²

Salut.

-Si x = y alors 2x^3=0 signifie x = 0 d'où x² + y² <= 0

-Si x est différent de y :

On a y^3 > -y^3 (Puisque y > 0)

donc x^3 + y^3 > x^3 - y^3

alors x^3 - y^3 < x - y

On sait que x^3 - y^3 = (x - y) (x² + xy + y²) et x - y est strictement positive alors :

x² + xy + y² < 1.

On a : x² + y² < x² + xy + y² ( Puisque xy > 0 ) donc x² + y² < 1

Je propose ceci:
Par CS:
(x^3+y^3)(x+y)>=(x^2 +y^2)^2 <==>(x-y)(x+y)>=(x^2 +y^2)^2==>
x^2>=(x^2+y^2)^2 ==>x>=(x^2+y^2)
On a d'après la condition :
x(x²-1) + y(y²+1) = 0
Si x > 1 l'égalité est non vérifiée
Donc x =<1
On conclut donc que:
1>=x^2+y^2