EF

Trouver toutes les fonctions définies de R à R qui vérifient :

f(yf(x+y)+f(x)) = 4x+2yf(x+y)

x=0 :: f(yf(y)+f(0)) =2yf(y)
y=0:: : f(f(x))=4x

alors : f(f(x))=4(f(xf(x)+f(0))) /(2f(x)) ie 2xf(x)=f(xf(x)+f(0))
posons : xf(x)=k alors : 2k=f(k+f(o)) posons t=k+f(0) alors f(t)=2t-2f(0)

la seule solution du blem est : f(x)=2x-2f(0)

Je propose ceci:
soit P(x;y): f(yf(x+y)+f(x)) = 4x+2yf(x+y)

P(x;o)==> f(f(x))=4x ==> f est bijective
Alors qlqs x€IR f(f(x/4))=x==>f( f(f(x/4)))=f(x)==> 4f(x/4)=f(x)
Ainsi qlqs x€IR 4f(x)=f(4x)
P(0;1)==>f(f(1))=2f(1) ==> f(1)=2
P(x;1-x)==>f((1-x)f(1)+f(x))=4x+2(1-x)f(1)==> f(2-2x+f(x))=4=f(f(1))=f(2)
Et puisque f est injective alors 2-2x+f(x)=2 d'où f(x)=2x
Réciproquement la fonction f(x)=2x qlq€IR vérifie l'EF
Donc la seule solution de l'EF est f(x)=2x qlqs x€IR

je vois que les deux solutions sont correctes ... :/