exo ef, travaillez

Determiner toutes les fonctions continues, f: R-->R , telles que pour tous réels x,y:

(f(x)+f(y)) f((x+y)/2) = 2f(x) f(y)

la solution est ensemble vide wa33333333

killua 001 a écrit:

la solution est ensemble vide wa33333333

mais il faut démontrer killua , meme je pense que ta réponse est fausse

P(x+y,x-y)==>(2f(x+y)-f(x))(2f(x-y)-f(x)) = f(x)²

Si f(x) est non nul pour un certain x
alors l'application continue y ---> 2f(x+y)-f(x) ne s'annule pas
elle garde alors un signe constant
quite à prendre -f à la place de f ( -f vérifie aussi l'equat. fonct.)
On peut dire que 2f(x+y)>f(x) qqs y dans R
pour y=0 ==> f(x)>0
Donc f(y)>0 qqs y dans R et qqs x, y dans R, 2f(y)>f(x) (*)
Alors f est bornée .
qqs x,y dans R, (f(x)+f(y)) f((x+y)/2) = 2f(x) f(y)=<(f(x)+f(y))²/2 d'après IAG
==> f((x+y)/2)=<(f(x)+f(y))/2. Donc f est convexe car f continue puisqu'elle est en plus bornée alors f est constante

Donc, les solutions sont les fonctions constantes

abdelbaki.attioui a écrit:

P(x+y,x-y)==>(2f(x+y)-f(x))(2f(x-y)-f(x)) = f(x)²

Si f(x) est non nul pour un certain x
alors l'application continue y ---> 2f(x+y)-f(x) ne s'annule pas
elle garde alors un signe constant
quite à prendre -f à la place de f ( -f vérifie aussi l'equat. fonct.)
On peut dire que 2f(x+y)>f(x) qqs y dans R
pour y=0 ==> f(x)>0
Donc f(y)>0 qqs y dans R et qqs x, y dans R, 2f(y)>f(x) (*)
Alors f est bornée .
qqs x,y dans R, (f(x)+f(y)) f((x+y)/2) = 2f(x) f(y)=<(f(x)+f(y))²/2 d'après IAG
==> f((x+y)/2)=<(f(x)+f(y))/2. Donc f est convexe car f continue puisqu'elle est en plus bornée alors f est constante

Donc, les solutions sont les fonctions constantes

Je n'ai pas tout lu, mais tu as des problèmes dans ta solution car la conclusion est fausse.
La fonction inverse est -elle aussi- solution du problème.

<loin de là la solution est tout à fait juste
D'ailleurs la fonction inverse n'est pas continue sur R

La réponse de abdelbaki.attioui est la correcte .

abdelbaki.attioui a écrit:

<loin de là la solution est tout à fait juste
D'ailleurs la fonction inverse n'est pas continue sur R

Je n'ai pas fait attention. Je m'excuse!