macedonia1999

a,b,c>0 tq a²+b²+c²=3 MQ :

a+b+c+9/(abc)>12. Est équivalent a a^2bc+...+(a^2+b^2+c^2)^2>12abc

On simplifie et d après AM-GM on trouve :

S>12abc

Alors comment vous avez trouve ma réponse ?

il suffit dde monttrer qu abc inf a 1 et a+b+c sup=3 et c fini

personne n'a trouvé la bonne reponse !!!

généralisation :
n >= 1 . tel que : a^n + b^n + c^n <= 3 montrer l'ineq.
+
je poste ma solution plus tard ...

on attend votre solution Mr ''az360'' !!!

voila : d'apres holder on a : (a+b+c) <= 3^(n-1)(a^n + b^n + c^n) <= 3^n
donc : p = a+b+c <= 3 et q = ab+bc+ca <= (a+b+c)²/3 <= 3
a+b+c + 9/abc >= a+b+c+81/(a+b+c)(ab+bc+ca) = p + 27/pq + 27/pq + 27/pq >= 4sqrt[4](3^9/(p²q^3)) >= 4*3 = 12
j'ai utilisé : pq >= 9abc .

az360 a écrit:

voila : d'apres holder on a : (a+b+c) <= 3^(n-1)(a^n + b^n + c^n) <= 3^n
donc : p = a+b+c <= 3 et q = ab+bc+ca <= (a+b+c)²/3 <= 3
a+b+c + 9/abc >= a+b+c+81/(a+b+c)(ab+bc+ca) = p + 27/pq + 27/pq + 27/pq >= 4sqrt[4](3^9/(p²q^3)) >= 4*3 = 12
j'ai utilisé : pq >= 9abc .

la relation en rouge est fausse !!!
vous pouver verifier pour n=4 on a a^4+b^4+c^4>=(a²+b²+c²)²/3 =3
on n'a pas le contraire!!!!!

nsiiit wahed ^n voila :
(a+b+c)^n <= 3^(n-1)(a^n + b^n + c^n) <= 3^n

az360 a écrit:

nsiiit wahed ^n voila :
(a+b+c)^n <= 3^(n-1)(a^n + b^n + c^n) <= 3^n

la relation en rouge est fausse !!!
vous pouver verifier pour n=4 on a a^4+b^4+c^4>=(a²+b²+c²)²/3 =3
on n'a pas le contraire!!!!!

moi j'ai montré ma generalisation ou il y'a : a^n + b^n + c^n <= 3 montrer l'ineq. donc ca reste vraiii ...
ou bien je nte comprend pas tjr !!
condition a²+b²+c² = 3 n'est pas encore valable ...
pour votre probleme il suffit de prend n = 2 et le cas d'egalité ...

3=a²+b²+c²=p²-2q (notations habituelles)
3p=p^3-2pq >= 2pq-9r par schur

p+9/r >= 2pq/3-3r+9/r>= 3r+9/r car pq>=9r

p+9/r>= 4(3r.3/r.3/r.3/r)^(1/4)=12/r^(1/2)>=12 car 3=a²+b²+c²>=3r^(2/3) ==> r=<1

bravo Mr "abdelbaki.attioui"
l'idee est la suivante : montrer que a+b+c >3abc

sans utiliser schur on peut repondre comme suit :
posons a+b+c=t et abc =r^3
on a 3=a²+b²+c² >=3r² donc r²<=1 ; a+b+c >=3r donc t/3r >=1
commençons d'abord: on a


[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b+c+\frac{9}{abc}%20=t+\frac{3}{r^3}+\frac{3}{r^3}+\frac{3}{r^3}\geq%204\sqrt[4]{\frac{3^{3}t}{r^{9}}}=\frac{12}{r^{2}}\sqrt[4]{\frac{t}{3r}}\geq%2012\times%201=12[/img]

car 12/r² >=12 et t/3r >=1