Titu andreescu

tq Mq:

Pour le coté gauche:
par absurde on prouve que l'un des réel a,b et c est unférieure ou égale à 1 ,par symétrie supposons que a=<1
ainsi :

et pour le coté droit ?

younesmath2012 a écrit:

et pour le coté droit ?

pour le coté droit:
on peut facilement prouver qu'un des variable est inférieur ou égale à 1 et qu'un autre est supérieur ou égale à 1,supposons par symétrie que a=<1 et b>=1
si c>=1
on a alors (c-1)(b-1)>=0
maintenant on a
ça se trouve facilement , si on considère une équation d'inconnu a
et donc

et là il ne reste plus qu'applique C-S pour aboutir à :

le cas c=<1 se traite de la même façon en choisissant (a-1)(c-1).

younesmath2012 a écrit:

tq Mq:

il me semble que c la 2eme fois que vous proposez ce problem Mr Younes , comme personne n'as tenté de résoudre l'inégalité de droite restante , je propose ma solution que j'avais garder en réserve ...
Notons qu'il est claire que d'apres la condition est AM-GM , on a bien abc =< 1 .
soit : (a-1)(b-1) >=0 =>ab+1 >= a+b => c +ab >= ab+bc+ca-abc ,
d'ou il suffit de prouver que : c+ab =< 2 .
revenant a la condition on a :
4=a²+b²+c(c+ab) >= 2ab+c(c+ab) = (c+ab)(c+2)-2c => 4+2c >= (c+ab)(c+2) => c+ab =< (4+2c)\(c+2)=2 .
Fin de la démonstration .

En remplacent a=2x/ sqrt((x+y)(y+z)) ......en trouve la sol facilement

Bravo comme toujour Mr''oty''

je pense que l' inégalité est aussi vrai (own) ;
soit a,b,c > 0 vérifiant : a²+b²+c²+abc=4 . Prouver que :
ab+bc+ca-abc =< 5\2 .

vous avez remplacer seulement 2 par 5/2 !!!
en effet on a ab+bc+ca-abc =<2 <5/2

younesmath2012 a écrit:

vous avez remplacer seulement 2 par 5/2 !!!
en effet on a ab+bc+ca-abc =<2 <5/2

oui mais je l'ai posté pour que quelqu'un essaye de la prouver directement , si on connaissait pas le probleme initial , il est pas trés naturel de constaté que LHS =< 2 .
Mais oui 2 est une meilleur estimation .