- expert_run a écrit:
- Si z=/=z' alors | (f(z)-f(z'))/(z-z')|=1 donc il existe a€IR tel que f(z)-f(z')=(z-z')e^ia
donc f(z)=ze^ia +f(0)
le résultat reste vrai pour z=z'
En conclusion qlqs z€C f(z)=ze^ia + c avec c€IC.
Il y a une étape sautée
a dépend de z et z' vous devez montrer que a est constante pour conclure
soit z,z' dans C avec z'#0 on pose g(x)=[f(z+xz')-f(z)]/|z'|
pour tous x,x' dans R, |g(x)-g(x')|=|f(z+xz')-f(z+x'z')|/|z'|=|x-x'| et g(0)=0
pour tous x>x'> 0, |g(x)-g(x')|=x-x'=|g(x)|-|g(x')| car |g(x)|=|x| qqs x
On pose t=|g(x)-g(x')|/x ===> 0<t<1 et 1-t=|g(x')|/x
|t [g(x)-g(x')]/|g(x)-g(x')|+(1-t)g(x')/|g(x')||=|[g(x)-g(x')]/|g(x)|+g(x')/|g(x)||=1
==> x'g(x)=xg(x') par symétrie des rôles g(x)=xg(1) pour x>=0
==> f-f(0) est linéaire (f est et une similitude)
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