m 121

salut Passionnés des maths , j'espère que vous allez bien
j'ai un exo qui me fait un casse-tete ...

1)Calculer les Sommes:

Up=sigma(k=1 à p)[cotg²((k(pi))/(2p+1))]


Sp=sigma(k=1 à p)[1/(sin²((k(pi))/(2p+1)))]


2) En déduire, utilisant:


cotg(t) < 1/t < 1/sin(t) ; t apprtient ]0,(pi)/2[ ,


la somme : sigma(n=1 à (infini)) [ 1/n²]

salam !
voici quelques indicqtions qui peuvent t'aider !!
1)
Up=p(2p-1)/3 et Sp=2p(p+1)/3 par récurrence.
2)
on utilise l’inégalité cotg²(t) < 1/t² < 1/sin²(t) pour t=k(pi)/2p+1
puis en passant à la somme on trouve que
Up<somme(((1/(k(pi)/2p+1)²),k=1..p)<Sp
donc
(p(2p-1)/3)(pi)/2p+1)² < somme(1/k² ;k=1...P) < (2p(p+1)/3)((pi)/2p+1)²
en fin
lim somme (1/k² ; k=1...n)=pi²/6 n tend vers +00