Exo TVI

Soit p et q de R*+ , et f(x) continue sur [0,1] tels que : f(0) est different de f(1)


Démontrez qu'il existe un x appartenant a ]0,1[ tels que :

f(x0)= [p.f(0)+q.f(1)]/(p+q)

Bonjour,

Indication:

Considérer la fonction g définie sur [0,1] par:g(x)=p.f(0)+q.f(1) - (p+q).f(x)

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaire à la fonction g sur [0,1]

l'exercice est symétrique :
on se limite au cas de f(0)=< f(1)
on pose : t=[p.f(0)+q.f(1)]/(p+q) on : f(0)=< t =< f(1)
donc il existe c ]0,1[ tel que : f(c)=t . car f est continue sur [0,1]

Soit g(x)= f(x) -[p.f(0)+q.f(1)]/(p+q)
g(x) est continue sur [0,1]
g(0)x g(1) = [f(0)-[p.f(0)+q.f(1)]/(p+q)] x [f(1)-[p.f(0)+q.f(1)]/(p+q)]
= [p(f(1)-f(0) ) /p+q] x [q(f(0)-f(1) ) / p+q ]
= -pq(f(0)-f(1) )²/(p+q)² <0

D'apres TVI
Il existe x0 tels que : f(x0)=[p.f(0)+q.f(1)]/(p+q)

Sauf erreur