exercice !!!GEANT!!!extraordinaire

a,b deux entier montrer que si ab+1 divise a²+b² alors

est un carré parfait

Déjà posté

Olympiades internationales 1988

GÉNÉRALISATION:
Si a, b et c sont des naturels non nuls tels que 0=<a^2 + b^2 - abc =< c,
alors a^2 + b^2 - abc est un carré parfait.

est ce que vous pouvez m'indiquer où il est posté ? merci d'avance car je cherche une simple solution pour cet exercice!!!

Ici

Vous n'auriez pas un PDF pour les cours ? merci bien !

chercher descente infinie

abdelbaki.attioui a écrit:

GÉNÉRALISATION:
Si a, b et c sont des naturels non nuls tels que 0=<a^2 + b^2 - abc =< c,
alors a^2 + b^2 - abc est un carré parfait.

est ce que vous pouvez montrer cette generalisation ? merci beaucoup!!!

younesmath2012 a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

GÉNÉRALISATION:
Si a, b et c sont des naturels non nuls tels que 0=<a^2 + b^2 - abc =< c,
alors a^2 + b^2 - abc est un carré parfait.

est ce que vous pouvez montrer cette generalisation ? merci beaucoup!!!

On pose h=a^2 + b^2 - abc
on suppose ab>0 car si ab=0, h=a^2 ou h=b^2 ==> h est un carré

si c=0 ou c=1 ==> h=0 ou h=1 ==> h est un carré
si c=2 ==> h=a^2 + b^2 - 2ab=(a-b)^2 ==> h est un carré
si c>2 ==> a#b car si a=b , h=a^2(2-c)>=0 ==> c=<2
par symétrie des rôles on peut supposer que a>b>0

soit d l'autre racine de l’équation x^2+b^2-xbc=h
==> a+d=bc et ad=b^2-h ==> d est un entier relatif

si d<0 ==> db=<-1 ==> dbc=<-c
d^2+b^2=dbc+h=<-c+h=<0 ==> d=b=0 ==> h=0 est un carré

si d=0 ==> h=b^2 est un carré

si d>0, d=bc-a
si d>=b ==> bc-a>=b ==> bc>=a+b
==> abc>=a^2+ab>a^2+b^2 ==> h<0 impossible, donc d<b
on a alors a^2 + b^2 - abc=h et b^2+d^2-bdc=h avec 0<d<b<a

Donc si h n'est pas un carré, par descente infinie,
l'ensemble E={(n,m) dans N^2 : n^2+m^2-nmc=h , n=<a et m=<b } serait infini
ce qui est absurde

merci beaucoup Mr''abdelbaki.attioui'' .

younesmath2012 a écrit:

est ce que vous pouvez m'indiquer où il est posté ? merci d'avance car je cherche une simple solution pour cet exercice!!!

une toute petite retouche avec la célèbre méthode '' Vièta Jumping '' Tuera l'exercice .

indiquer nous svp Mr''alidos'' !!!

Tu peux consulter ce PDF Mr Younessmath

http://blogs.sch.gr/sotskot/files/2011/01/Vieta_Jumping.pdf

voici une reponse

Hadik Hiya Vièta Jumping

ah oui !!!