eq fon

Trouver toutes les fonctions définie de R vers R vérifiant l'équation suivante : f(xf(x)+f(y))=f(x)²+y

Supposons qu'il existe un reel a tl que : f(a)=0
P(a,a) => f(0)=a
P(0,0) => f(f(0))=f²(0) => f(a)=a² => a=0 donc f(0)=0
P(0,y) => f(f(y))=y
P(f(y),y) => f(f(y)f(f(y))+f(y))=(f(f(y)))²+y =>f(yf(y)+f(y))=y²+y
P(y,y) =>f(yf(y)+f(y))=f²(y)+y
donc f²(y)+y=y²+y => f(y)=y ou f(y)=-y

Joli

abdelkrim-amine a écrit:

Supposons qu'il existe un reel a tl que : f(a)=0
P(a,a) => f(0)=a
P(0,0) => f(f(0))=f²(0) => f(a)=a² => a=0 donc f(0)=0
P(0,y) => f(f(y))=y
P(f(y),y) => f(f(y)f(f(y))+f(y))=(f(f(y)))²+y =>f(yf(y)+f(y))=y²+y
P(y,y) =>f(yf(y)+f(y))=f²(y)+y
donc f²(y)+y=y²+y => f(y)=y ou f(y)=-y

mais tu dois demontrer la surjectivité avant d'ecrire ce qui est en rouge

killua 001 a écrit:

abdelkrim-amine a écrit:

Supposons qu'il existe un reel a tl que : f(a)=0
P(a,a) => f(0)=a
P(0,0) => f(f(0))=f²(0) => f(a)=a² => a=0 donc f(0)=0
P(0,y) => f(f(y))=y
P(f(y),y) => f(f(y)f(f(y))+f(y))=(f(f(y)))²+y =>f(yf(y)+f(y))=y²+y
P(y,y) =>f(yf(y)+f(y))=f²(y)+y
donc f²(y)+y=y²+y => f(y)=y ou f(y)=-y

mais tu dois demontrer la surjectivité avant d'ecrire ce qui est en rouge

c'est facile, je pense,

wé C trè FAcile

f(y)=f(x) => f(xf(x)+f(x))=f^2(x)+y => f^2(x)+y=f^2(x)+x => x=y => f est injective
f est bijective

wééé ..mercii bcp ..hadiii lemerdatniii b9iiit tandooor 3liha waloo mabghatsh tekhrej ... Bravoo vrmnt rak wA3er A khay

killua 001 a écrit:

wééé ..mercii bcp ..hadiii lemerdatniii b9iiit tandooor 3liha waloo mabghatsh tekhrej ... Bravoo vrmnt rak wA3er A khay

c rien khoya