E.F

Trouver toutes les fonctions f:IR->IR tel que pour tout (x,y) £ IR² nous avons :
f(xf(x+y))=f(yf(x))+x²

ou est ta solution syba ? ?

j'ai trouvé f(x)=x ou f(x)=-x mais j'ai fait un erreur dans la démonstration, je vais essayer de rectifier

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=506637 ...
..
des indications qui peut aider a trouver la reponse

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=507382

solution kamla mekmoola hna

x=0 ==> f(0)=f(yf(0)) qqs y ==> f(0)=0 car f non constante
y=0 et f(x)=0 ==> f(xf(x))=x²=0 ===> x=0. Donc f(x)=0 <==> x=0
y=0 ==> f(xf(x))=x² qqs x

f(x)=f(y)==> f(xf(x))=f(xf(y))= f((y-x)f(x))+x²=x²==> f((y-x)f(x))=0 ==>(y-x)f(x)=0==>x=y
==> f est injectif
f(xf(x))=x²=f(-xf(-x)) ==> xf(x)=-xf(-x) ==> f impair

f(f(1))=1 ==> f(f(1)f(f(1))=f(1)²=1
on pose a=f(1) ==> a²=1

f(xa)=f(xf(1))=f((1-x)f(x))+x²=-f((x-1)f(x))+x²=-f(f(x-1))-(x-1)²+x²=-f(xa)+2x
===> f(ax)=x ===> f(x)=ax

merci pour la traduction