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 | | Sujet: imo schirt liste 87 Jeu 04 Jan 2007, 16:45 | |
| Prove that if the equation , $x^{4}+ax^{3}+bx+c=0$
has all its roots real,then $ab\leq0$. | |
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abdelbaki.attioui
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| | Sujet: Re: imo schirt liste 87 Jeu 04 Jan 2007, 18:05 | |
| D'aprés Rolle il existe u,v,w racines réelles de 4x^3+3ax²+b
4(x-u)(x-v)(x-w)=4x^3+3ax²+b
==> b=-4uvw et 3a=-4(u+v+w)
==>3ab=16uvw(u+v+w)=<0 | |
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naïl
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| | Sujet: Re: imo schirt liste 87 Lun 18 Juin 2018, 17:17 | |
| Le polynôme x^4+ ax^3+ bx+ c = 0 a quatre racines lesquelles ne sont pas nécessairement racines de la dérivée d(x^4 +ax^3+ bx+ c)/ dx = 0. Par conséquent, la factorisation avec les racines concerne le polynôme lui-même, ce qui équivaut à:
[center]a = -(la somme des racines) [\center]
[center]la somme des bi produits de racines = 0[\center]
[center]b = -(somme des tri produits de racines) [\center]
[center]le produit de racines = c[\center]
Est-ce-qu'alors pour tous réels t, u, v et w tels que vw+ wt+ tu+ uv = 0 : (t+ u+ v+ w)(uvw+ vwt+ wtu+ tuv) <= 0 ? | |
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naïl
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| | Sujet: modification Mar 19 Juin 2018, 10:51 | |
| - naïl a écrit:
- Le polynôme x^4+ ax^3+ bx+ c = 0 a quatre racines lesquelles ne sont pas nécessairement racines de la dérivée d(x^4 +ax^3+ bx+ c)/ dx = 0. Par conséquent, la factorisation avec les racines concerne le polynôme lui-même, ce qui équivaut à:
a = -(la somme des racines) la somme des bi produits de racines = 0 b = -(somme des tri produits de racines) le produit de racines = c Est-ce-qu'alors pour tous réels t, u, v et w tels que vw+ wt+ tu+ uv = 0 : (t+ u+ v+ w)(uvw+ vwt+ wtu+ tuv) <= 0 ? the condition on the roots contains rather 6 terms: vw+ wt+ tu+ uv+ vt+ wu = 0 therefore, uvw+ vwt+ wtu = -w^2 (t+ u+ v), for example and 3(uvw+ vwt+ wtu+ tuv) = -(t^2+ u^2+ v^2+ w^2)(t+ u+ v+ w)+ t^3+ u^3+ v^3+ w^3 then 3ab = -(t^2+ u^2+ v^2+ w^2)(t+ u+ v+ w)^2+ (t^3+ u^3+ v^3+ w^3)(t+ u+ v+ w) i apologize, but i would have correct the equality without providing a complete solution. | |
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naïl
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| | Sujet: Re: imo schirt liste 87 Sam 23 Juin 2018, 13:25 | |
| This means that : t^3+ u^3+ v^3+ w^3 = - 3b- a^3 | |
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naïl
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| | Sujet: Re: imo schirt liste 87 Mer 04 Juil 2018, 22:26 | |
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| | Sujet: Re: imo schirt liste 87 | |
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