exercice de exp(x) partie 2

on pose a et b deux nombres dans l'intervalle ouvert (1.+l'infini)
1) montrer que ; (a^4+b^4)/(a+b)>ab^(3/2)
2)montrer que ; lim (exp(sqrt(x+1))-exp(sqrt(x)))^(1+sqrt(x))=exp(1) lorsque x tend vers +l'infini

Salut moulim,

J'ai l'impression que la limite vaut l'infini et non exp(1)

je veux dire
calculer la limite (exp(sqrt(x+1))-exp(sqrt(x)))^(1+sqrt(x))=exp(1)
lorsque x tend vers +l'infini

que ce que je fais à la question 1

s'il vous plait aide moi

Re,

Regarde http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28exp%28sqrt%28x%2B1%29%29-exp%28sqrt%28x%29%29%29%5E%281%2Bsqrt%28x%29%29%2C+x%3D%2Binfinity

C'est bizarre non ?

je suis désolé ;
calculer ; lim (exp(sqrt(x+1))-exp(sqrt(x)))^(1/sqrt(x))=exp(1) lorsque x tend vers +l'infini

c'est une limite intéressante dont j'ai eu affaire récemment voici comment on avait procédé :
quite a éléminer le la puissance qui dérange on va essayer de montrer que :

ce qui nous permetra de conclure .
on remarque bien que l'expression a l'intérieur du ln est de la forme
f(x+1)-f(x) ou f(x)=e^{racine(x)} , ce qui nous fait pensé au théoreme des accroissement fini
, en effet en appliquand le théoreme des accroissement a la fonction f qui est continue est dérivable sur ]0,+infini[ et en particulier ]x , x+1[ , il existe un ''a'' dans ]x ,x+1[ tel que :

on prend par exemple x >= 1 pour que la fonction

soit croissante , il en découle que :

ou L(x) est la la fonction dont on veux calculer la limite en +infini .
on fesant tendre x vers l'infinie on a :

de la meme maniere le membre de droite tend vers 1 et par conséquent :
limite L(x)=1 le résultat en découle ...

merci beaucoup mon ami

et la question 1 ?

C'est vraiment une très jolie solution et un très bel exo !
Pour la 1), je ne vois pas pour l'instant

est ce que l'exo 1) c'est ca ? :


avec a,b > 1 ?

bon si c'est bien l'inégalité donné voici ma solution :
par symétrie supposant a>=b et on pose a=xb avec x >=1 .
l'inégalité est equivalente a :

la fonction h est dérivable sur ]0,+infini[ et on a

d'ou h est croissante sur [1,+infini[ et donc
h(x)>= h(1)=0 d'ou le résultat , sauf erreur .

merci ; mais je veux poser une question ;
h(x)>h(1);et ensuite que ce que je fais?

Eh bien Oty a montré que la fonction h admet un minimum sur [1; +oo[ qui vaut h(1)=0

Donc pour tout x dans [1; +oo[, h(x) > 0 et donc pour tout x dans [1; +oo[, on a : ln(x^4+1)-ln(x+1)-3/2 *ln(x) > 0

Ensuite, reste à remonter les équivalences ...

Okay ?

aprés de limite L(x)=1,
qu'set ce que je fais?

Désolé, je ne comprends pas. C'est quoi L(x) ?

qu'est ce que je fais ; aprés limite L(x)=1

L(x)=f(x+1)-f(x)

On a L(x)=(1/R(x)) * ln(f(x+1)-f(x)) -> 1

D'où exp(L(x)) = (exp(R(x+1))-exp(R(x)))^(1/R(x)) -> exp(1)

salut

et merci ,

merci beaucoup

de rien